Zahlenfolgen

Definition

Eine Zahlenfolge ist eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl `n\in{0,1,2,…}` eine reelle Zahl `a_n\inmathbb{R}` zuordnet. Folgen werden in der Mathematik oft zusammen mit Reihen behandelt.


Das sind einige Beispiele für Zahlenfolgen:

`a_0=0,a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,…`

`a_0=0,a_1=1,a_2=4,a_3=9,a_4=16,…`

Um eine Folge darzustellen, kann man sich der Mengendarstellung bedienen und die einzelnen Folgeglieder auflisten:

`(a_n)_(n\inmathbb{R})={a_1,a_2,a_3,…}`

Alternativ kann man die Folge über ihre Bildungsvorschrift beschreiben, z.B. wäre

`a_n=frac{1}{n}+3`

eine solche Bildungsvorschrift.

Zahlenfolgen lassen sich auf verschiedene Merkmale hin untersuchen. Einige Wichtige werden im Folgenden vorgestellt.

Monotonie der Folge

Im Zusammenhang mit Folgen wird oft die Monotonie untersucht. Hier stellt man sich die Frage, ob die einzelnen Folgeglieder wertmäßig steigen oder fallen. Eine Folge ist monoton steigend / wachsend, wenn jedes Element mindestens genauso groß wie das vorangehende Element ist. Es gilt also:

`a_nlea_(n+1)`

Dahingegen ist eine Folge monoton fallend, wenn jedes Element höchstens genauso groß wie das vorangehende Element ist:

`a_ngea_(n+1)`

Eine Verschärfung dazu stellt die strenge Monotonie dar. Ist also jedes Folgeglied nicht nur mindestens so groß sondern (strikt) größer als das vorangehende Element, spricht man von einer streng monoton steigenden Folge. Hier gilt: `a_n < a_(n+1)`. Analog ist auch die streng monoton fallende Folge definiert: Hier ist jedes Folgeglied (strikt) kleiner als das vorangehende Element: `a_n > a_(n+1)`.

Arithmetische und geometrische Folgen

Steigt oder fällt eine Folge immer um einen konstanten Wert, spricht man von einer arithmetischen Folge. Bei einer arithmetischen Folge lautet die Bildungsvorschrift also

`a_n=a_(n-1)+d`,

wobei `d` positiv oder negativ sein kann. Anders gesagt ist die Differenz zweier aufeinanderfolgenden Elemente bei einer arithmetischen Folge immer die Konstante `d`:

`a_(n+1)-a_n=d`

Formal lässt sich die Bildungsvorschrift einer arithmetischen Folge auch mithilfe des ersten Folgeglieds darstellen:

`a_n=a_0+nd`

Diese Formel ergibt sich durch das Aufaddieren mehrerer `d`s. So kann die Rechnung, die das fünfte Folgeglied bestimmt, auch folgendermaßen geschrieben werden:

`a_5=a_4+d=a_3+d+d=a_2+d+d+d`
`=a_1+d+d+d+d=a_0+d+d+d+d+d`
`=a_0+5d`

Eine andere spezielle Folge ist die geometrische Folge. Während bei der arithmetischen Folge zwei aufeinanderfolgende Elemente immer denselben Abstand haben, stehen sie bei einer geometrischen Folge immer in einem festen Verhältnis zueinander. So wäre zum Beispiel eine Folge, bei der das vorherige Element immer verdoppelt wird, eine geometrische Folge. Formal lautet das Verhältnis zwischen den beiden Elementen:

`q=frac{a_(n+1)}{a_n}`

Das Bildungsgesetz für eine geometrische Folge lässt sich wie bei der arithmetischen Folge auf zwei Arten darstellen. Der erste Ansatz bezieht sich dabei wieder auf das vorangehende Folgeglied:

`a_(n+1)=a_nq`

Das Folgeglied wird also mit dem Faktor, der das Verhältnis angibt, multipliziert, wodurch das nächste Folgeglied berechnet wird.

Die zweite Möglichkeit arbeitet mit dem ersten Folgeglied:

`a_n=a_0q^n`

Während bei der arithmetischen Folge die einzelnen `d`s aufsummiert wurden, werden die einzelnen `q`s bei der geometrischen Folge miteinander multipliziert, wodurch der Exponent angepasst werden kann:

`a_5=a_4\cdot\ q=a_3\cdot\ q\cdot\ q=a_2\cdot\ q\cdot\ q\cdot\ q=a_1\cdot\ q\cdot\ q\cdot\ q\cdot\q`
`=a_0\cdot\ q\cdot\ q\cdot\ q\cdot\ q\cdot\ q=a_0\cdot\ q^5`

Explizite und rekursive Folgen

Wenn man das `n`-te Glied einer Folge direkt bestimmen kann (also ohne alle vorangehenden Folgeglieder zu kennen), handelt es sich dabei um eine explizite Folge (bzw. expizit definierte Folge).

Beispiel einer expliziten Folge:

`a_n=frac{1}{n}`
`a_1=\frac{1}{1}=1,\ a_2=\frac{1}{2}=0,5,\ a_3=\frac{1}{3}=0,333\ldots`

Dahingegen spricht man von einer rekursiven Folge, wenn man für die Berechnung des`n`-ten Folgeglieds stets das vorherige Folgeglied benötigt.

Beispiel einer rekursiven Folge (es handelt sich hierbei um die Fibonacci-Folge):

`a_n=a_(n-1)+a_(n-2)` mit `a_0=1` und `a_1=1`
`a_2=1+1=2,a_3=2+1=3,a_4=3+2=5`

Konvergenz einer Folge

Wenn eine Folge gegen einen Grenzwert `a` konvergiert (sich beliebig nahe an einen bestimmten `a` Wert annähert), so nennt sich die Folge konvergent mit `a` als Grenzwert der Folge. Jede Folge kann nur einen Grenzwert haben. Späte Glieder einer konvergenten Folge werden also nicht unendlich groß:

`lim_(nrightarrowinfty)a_n\ne\pm\infty`

Der Ausdruck „lim“ steht für den Limes, also den Grenzwert der Folge für unendlich große `n`, also sehr späte Folgeglieder.

Graphisch könnte eine konvergierende Folge mit dem Grenzwert a zum Beispiel wie folgt aussehen:

Zahlenfolge 1

Hat die Folge keinen Grenzwert, so bezeichnet man sie als divergent:

Zahlenfolge 2

Besteht eine Folge aus Partialsummen einer anderen Folge, so wird sie als Reihe bezeichnet. Mehr dazu kannst du im Artikel über Reihen nachlesen.



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