Wendepunkt berechnen

Die Berechnung von Wendepunkten ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion.

Definition

In einem Wendepunkt ändert sich die Krümmungsrichtung des Graphen einer Funktion von links nach rechts oder von rechts nach links.


Die Funktion wechselt also im Wendepunkt zwischen Konvexität und Konkavität. Die Funktion ist dabei konkav, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konvex, wenn die zweite Ableitung positiv ist. In einem Wendepunkt wechselt also die zweite Ableitung von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv. Im Wendepunkt selbst ist die 2. Ableitung folglich gleich Null.

Eine andere Herleitung der notwendigen Bedingung für einen Wendepunkt arbeitet mit der Stärke der Steigung. In einem Wendepunkt ist die Steigung bzw. das Gefälle einer Funktion am stärksten (Tipp: Mit dem Geodreieck/Lineal den Graphen entlang fahren und so die Steigung als Tangente darstellen):

wendepunkt

Wie in der Abbildung deutlich wird, wird die Steigung zwischen lokalem Minimum und Wendepunkt immer stärker – der Graph immer steiler. Nach dem Wendepunkt wird die Steigung wieder weniger steil, bis sie im lokalen Maximum wieder Null beträgt. Die Steigung der Funktion (also ` f\prime(x)`, nicht ` f(x)`!) hat also ihr Maximum an der Wendestelle der Funktion erreicht – die erste Ableitung hat an der Wendestelle ein lokales Maximum.

Genauso verhält es sich rechts vom lokalen Maximum. Bis zur Wendestelle wird das Gefälle immer stärker (die Steigung immer negativer), anschließend nimmt das Gefälle wieder ab (die Steigung wird wieder positiver), bis die Steigung im lokalen Minimum wieder Null beträgt. Die „Steigung“ hat also im Wendepunkt ihr Minimum erreicht, die erste Ableitung hat in dieser Wendestelle ein lokales Minimum.

Aus beiden Ansätzen ergibt sich die notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunkts. Beim Wechsel von Konvexität und Konkavität ändert sich in der Wendestelle das Vorzeichen der zweiten Ableitung, die zweite Ableitung ist also gleich Null. Beim Betrachten der Stärke der Steigung hat die Ableitung der Funktion im Wendepunkt einen lokalen Extrempunkt, die zweite Ableitung ist an dieser Stelle also gleich Null. Die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes lautet demnach:

` f\prime\prime(x)=0.`

Letztlich verschiebt sich die Bedingung für einen Wendepunkt also nur um eine Ableitung gegenüber der Bedingungen für einen Extrempunkt.

Wenn die notwendige Bedingung erfüllt ist, kann die Funktion an dieser Stelle einen Wendepunkt haben. Wie bei den Extrempunkten gibt es auch für Wendepunkte eine hinreichende Bedingung. Da die Extrempunkte der ersten Ableitung gesucht werden, verschiebt sich auch hier die Bedingung nur um eine Ableitung.

Merke

Zusammenfassend lauten die Bedingungen für einen Wendepunkt also:

Notwendige Bedingung:` \ \ \ \ f\prime\prime(x)=0`
Hinreichende Bedingung: ` \ \ \ \ f\prime\prime(x)=0 ` und ` f\prime\prime\prime(x)\ne0`


Auch Wendepunkte lassen sich klassifizieren. In der Praxis ist dies zwar nur selten gefragt, der Vollständigkeit halber sind die Kriterien aber auch hier wieder aufgelistet:

Links- zu Rechtskrümmung: ` \ \ \ \ f\prime\prime\prime(x)<0`
Rechts- zu Linkskrümmung: ` \ \ \ \ f\prime\prime\prime(x)>0`

Merke

Wichtig ist, darauf zu achten, ob in einer Aufgabe nach Punkten oder Stellen gefragt wird. Wenn die Stelle gesucht wird, an der die Funktion ihre Krümmungsrichtung ändert, reicht es, den `x`-Wert des Wendepunkts anzugeben. Wenn jedoch nach dem Wendepunkt gefragt wird, muss auch der zugehörige `y`-Wert durch Einsetzen des berechneten `x`-Werts in die Ausgangsfunktion (nicht in eine der Ableitungen) angegeben werden. Der Wendepunkt kann dann in der folgenden Form dargestellt werden: `W(x_0,y_0)`.




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