Umkehrfunktion (Inverse)

Definition

Eine Umkehrfunktion (auch Inverse genannt) wird als `f^-1(x)` („f oben -1“) bezeichnet und ist graphisch gesehen die Spiegelung des Graphen der Funktion `f` an der Winkelhalbierenden.


In der folgenden Grafik sieht man beispielsweise eine e-Funktion `f(x)=e^x` und ihre Umkehrfunktion `f^-1(x)=ln(x)`:

umkehrfunktion

Um die Funktionsgleichung der Inversen zu bestimmen, löst man zunächst die Gleichung `y=f(x)` nach `x` in Abhängigkeit von `y` auf (Dadurch hat die Gleichung die Form `x=g(y)`. Anschließend müssen nur noch die Variablen `x` und `y` ausgetauscht werden:

tabelle4

Es ist nicht immer möglich, die Inverse zu bilden. Möglich ist es immer dann, wenn nicht nur jedem `x`-Wert genau ein oder kein `y`-Wert zugeordnet wird, sondern auch jeder `y`-Wert maximal einem `x`-Wert zugeordnet ist. Anders gesagt: Im Verlauf der Funktion darf jeder `x`- und `y`-Wert jeweils maximal einmal vorkommen. In diesem Fall spricht man von einer umkehrbar eindeutigen – oder bijektiven – Funktion.

Eine andere Herleitung für die Invertierbarkeit einer Funktion ergibt sich über das Monotonie- bzw. Steigungsverhalten: Die Funktion muss entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Eine Kombination dieser beiden oder ein Abschnitt ohne Steigung / Gefälle verhindert die Invertierbarkeit der Funktion.



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