Totales Differential

Definition

Das totale Differential beschreibt die genäherte Änderung des Funktionswerts einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen, wenn alle unabhängigen Variablen um einen kleinen Wert geändert werden.


Diese Definition wird im folgenden hergeleitet.

Möchte man wissen, wie sich der Funktionswert einer Funktion mit 2 oder mehr unabhängigen Variablen bei Änderung einer Variablen an einer bestimmten Stelle näherungsweise ändert (alle anderen Variablen konstant), wird das durch folgenden Term ausgedrückt:

` df_(x_i)=\frac(\partial f)(\partial x_i)dx_i `

Das Ergebnis ist dann die genäherte Änderung der zu erklärenden Variable. Es wird dabei angenommen, dass die Steigung der Funktion über diese Veränderung konstant ist:

partielles_differential

Wenn man diese genäherten Änderungen für alle unabhängigen Variablen aufsummiert, erhält man das totale Differential, welches die Änderung einer Funktion bezüglich aller ihrer Variablen anzeigt. Es werden also keine Variablen konstant gehalten, sondern alle Variablen um einen bestimmten kleinen Wert geändert. Somit kann das totale Differenzial folgendermaßen berechnet werden:

Formel

Totales Differential:

` df=\sum_(i=1)^(n)(df_(x_i))`




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