Taylor-Polynom

Definition

Mithilfe des Taylor-Polynoms (auch: Taylorreihe, Taylor-Entwicklung oder Taylor-Approximation) lassen sich Funktionen in einem Bereich um eine bestimmte Stelle annähern und ausdrücken. Hilfreich ist dies bei komplexeren Funktionen, bei denen das exakte Rechnen kompliziert ist und eine Näherung des Funktionswertes ausreicht.


Die Taylorreihe arbeitet mit Polynomen, welche das Rechnen vereinfachen. Je nachdem, wie viele Polynome man einführt, wird die Approximation genauer oder weniger genau.

Die Taylor-Approximation ist darauf ausgelegt, dass die approximierte Funktion an einer bestimmten Stelle möglichst genau der korrekten Funktion entspricht. Diese Stelle wird in der folgenden Abbildung als ` a ` bezeichnet. Entfernt man sich von der Stelle `a` und betrachtet andere `x`-Werte, so wird der durch die Taylorreihe approximierte Wert immer ungenauer. Die folgende Abbildung verdeutlicht dies:

taylor-polynom

Möchte man also die Funktion ` f(x)` von der Stelle ` a ` ausgehend approximieren, lautet die Formel für die Taylor-Reihe mit `n` Polynomen:

Formel

Taylor-Approximation mit `n` Polynomen:

` \ \tilde(f)(x)\approx f(a)+\frac(f\prime(a))(1!)(x-a)+\frac(f\prime\prime(a))(2!)(x-a)^2`
` +\ldots+\frac(f(n)(a))(n!)(x-a)^n`


Soll also linear approximiert werden (die approximierte Funktion ist demnach eine Gerade), lautet die Formel:

`\tilde(f)(x)\approx f(a)+\frac(f\prime(a))(1!)(x-a)`

Bei quadratischer Approximation (die approximierte Funktion ist dann eine Parabel) lautet die Formel:

`\tilde(f)(x)\approx f(a)+\frac(f\prime(a))(1!)(x-a)+\frac(f\prime\prime(a))(2!)(x-a)^2`

Bei kubischer Approximation entsteht entsprechend ein Polynom dritten Grades:

`\tilde(f)(x)\approx f(a)+\frac(f\prime(a))(1!)(x-a)+\frac(f\prime\prime(a))(2!)(x-a)^2+\frac(f\prime\prime\prime(a))(3!)(x-a)^3`

Und so weiter…

Das Vorgehen zur Bildung der Taylor-Reihe ist also, dass man zunächst die nötigen Ableitungen bildet. Anschließend setzt man die Stelle `a` in die Funktion und die Ableitungen ein und notiert die berechneten Werte. Setzt man dann die notierten Werte für ` a,\ f(a),\ f\prime(a),\ f\prime\prime(a)` usw. in der Formel ein und löst weitestmöglich auf, erhält man die approximierte Funktion ausgehend von der gewünschten Stelle.



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