Taylor-Polynom

Die Taylorreihe arbeitet mit Polynomen, welche das Rechnen vereinfachen. Je nachdem, wie viele Polynome man einführt, wird die Approximation genauer oder weniger genau.

Die Taylor-Approximation ist darauf ausgelegt, dass die approximierte Funktion an einer bestimmten Stelle möglichst genau der korrekten Funktion entspricht. Diese Stelle wird in der folgenden Abbildung als ` a ` bezeichnet. Entfernt man sich von der Stelle `a` und betrachtet andere `x`-Werte, so wird der durch die Taylorreihe approximierte Wert immer ungenauer. Die folgende Abbildung verdeutlicht dies:

Möchte man also die Funktion ` f(x)` von der Stelle ` a ` ausgehend approximieren, lautet die Formel für die Taylor-Reihe mit `n` Polynomen:

Soll also linear approximiert werden (die approximierte Funktion ist demnach eine Gerade), lautet die Formel:

`\tilde(f)(x)\approx f(a)+\frac(f\prime(a))(1!)(x-a)`

Bei quadratischer Approximation (die approximierte Funktion ist dann eine Parabel) lautet die Formel:

`\tilde(f)(x)\approx f(a)+\frac(f\prime(a))(1!)(x-a)+\frac(f\prime\prime(a))(2!)(x-a)^2`

Bei kubischer Approximation entsteht entsprechend ein Polynom dritten Grades:

`\tilde(f)(x)\approx f(a)+\frac(f\prime(a))(1!)(x-a)+\frac(f\prime\prime(a))(2!)(x-a)^2+\frac(f\prime\prime\prime(a))(3!)(x-a)^3`

Und so weiter…

Das Vorgehen zur Bildung der Taylor-Reihe ist also, dass man zunächst die nötigen Ableitungen bildet. Anschließend setzt man die Stelle `a` in die Funktion und die Ableitungen ein und notiert die berechneten Werte. Setzt man dann die notierten Werte für ` a,\ f(a),\ f\prime(a),\ f\prime\prime(a)` usw. in der Formel ein und löst weitestmöglich auf, erhält man die approximierte Funktion ausgehend von der gewünschten Stelle.

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