Symmetrie

Definition

Wenn die Symmetrie eines Graphen untersucht wird, ist vor allem interessant, ob der Graph achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist (oder keine Symmetrie aufweist).


Die Symmetrie eines Graphen lässt sich mithilfe eines Tests überprüfen. Dafür wird in in eine Ausgangsfunktion `f(x)` überall, wo `x` steht, stattdessen `(-x)` eingesetzt (dabei auf Klammersetzung achten!). Anschließend wird die Funktion so weit umgeformt, bis `f(x)` oder `-f(x)` herauskommt. Welche Symmetrieart damit verbunden ist, wird im Folgenden dargestellt. Ist eine Umformung von `f(-x)` zu `f(x)` oder `-f(x)` nicht möglich, liegen diese Symmetriearten nicht vor.

Definition

Ist die Funktion achsensymmetrisch zur `y`-Achse, entspricht der Funktionswert `f(-x)` dem Funktionswert `f(x)`.


Ein Beispiel für eine achsensymmetrische Funktion sieht man in der folgenden Grafik:

achsensymmetrie

Definition

Ist die Funktion punktsymmetrisch (auch drehsymmetrisch) zum Ursprung, entspricht der Funktionswert von `f(-x)` dem Funktionswert von `-f(x)`.


Eine punktsymmetrische Funktion ist in der folgenden Grafik dargestellt:

ursprungssymmetrie

Soll also herausgefunden werden, ob eine Funktion achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist, setzen wir statt `x` (`-x`) in die Funktion ein. Anschließend kann vereinfacht werden: Wird das `-x` mit einem geraden Exponenten potenziert, so löst sich das Minus auf (z.B. `(-x)^2=x^2`). Dahingegen wird das Minus vor den Summanden gezogen, wenn ein ungerader Exponent vorliegt (z.B. `(-x)^3=-(x^3)=-x^3`). Nach dem Vereinfachen wird die Gleichung mit der ursprünglichen Funktion verglichen:

Merke

Falls `f(-x)=f(x)` gilt, ist die Funktion `y`-achsensymmetrisch,
falls `f(-x) =-f(x)` gilt, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.


Trifft keiner der beiden Fälle zu, ist die Funktion weder `y`-achsen- noch drehsymmetrisch zum Ursprung.

Zum Überprüfen der Rechnung ist es hilfreich, die Exponenten der Funktion zu betrachten.

Merke

Hat die Funktion nur gerade Exponenten (z.B. `x^2+3=x^2+3x^0`), ist sie `y`-achsensymmetrisch.
Sind alle Exponenten ungerade (z.B. `x^3+x=x^3+x^1`), ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung.




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