Summenzeichen

Definition

Das Summenzeichen vereinfacht die Schreibweise komplexer Summen. Statt also zum Beispiel `a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots+a_n` zu schreiben, können wir auch das Summenzeichen verwenden:

`\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots+a_n`


Dabei ist `i` der Laufindex (hier: `i=1rightarrow1` ist die untere Grenze), `n` die obere Grenze und `a_i` die betrachtete Funktion bezüglich der Laufvariablen.

Variablen

`i` = Laufindex
`n`= obere Grenze
`a_i`= betrachtete Funktion


Das Ergebnis der Summe erhält man dann durch Einsetzen aller ganzen Zahlen von der unteren bis zu oberen Grenze in die Funktion. Zur Verdeutlichung:

`\sum_{i=-1}^{1}3i+i^2=3\cdot\ (-1\)+\ (-1\)^2+3\cdot0+0^2+3\cdot1+1^2`

`=-3+1+0+0+3+1=2`

Rechenregeln

Häufig kann es sinnvoll sein, Summenzeichen vor dem Auflösen zu vereinfachen, wozu es drei Rechenregeln gibt.
Zum einen dürfen Summen bzw. Differenzen getrennt werden:

`sum_{i=1}^{n}(a_i\pm b_i)=\sum_{i=1}^{n}a_i\pm\sum_{i=1}^{n}b_i`

Dies ergibt sich aus dem Kommutativgesetz, welches besagt, dass es egal ist, ob man `a+b` oder `b+a` rechnet:

`sum_{i=1}^{3}(a_i\pm b_i)=a_1\pm b_1+a_2\pm b_2+a_3\pm b_3`

`=a_1+a_2+a_3\pm b_1\pm b_2\pm b_3=a_1+a_2+a_3\pm(b_1+b_2+b_3)`

`=\sum_{i=1}^{3}a_i\pm\sum_{i=1}^{3}b_i.`

Die zweite Rechenregel für Summen besagt, dass eine Konstante, die mit der Funktion multipliziert wird, vor das Summenzeichen gezogen werden darf:

`\sum_{i=1}^{n}c\cdot a_i=c\cdot\sum_{i=1}^{n}a_i.`

Diese Regel gilt deshalb, weil man nach Auflösen des Summenzeichens in jedem Summanden die Konstante vorliegen hat und diese dann ausklammern könnte:

`\sum_{i=1}^{n}ca_i=ca_1+ca_2+\ldots+ca_n=c\cdot (a_1+a_2+\ldots+a_n)=c\cdot\sum_{i=1}^{n}a_i.`

Die letzte Regel behandelt den Umgang mit Funktionen, in denen die Laufvariable überhaupt nicht vorkommt. Hier gilt folgendes:

`\sum_{i=u}^{n}c= (n-u+1)\cdot c`

Wenn die untere Grenze 1 ist, kann diese Regel vereinfacht werden zu:

`\sum_{i=1}^{n}c=n\cdot c`

Die allgemeine Form dieser Regel lässt sich dadurch begründen, dass (trotz der nicht vorkommenden Laufvariablen) beim Auflösen des Summenzeichens jeder Wert zwischen unterer und oberer Grenze einmal eingesetzt wird. Man könnte die Laufvariable also zum besseren Verständnis auch als ` frac{i}{i}` oder `i^0` einfügen:

`\sum_{i=2}^{4}c\cdot\frac{i}{i}=c\cdot\frac{2}{2}+c\cdot\frac{3}{3}+c\cdot\frac{4}{4}=c\cdot1+c\cdot1+c\cdot1=3c`

`= (4-2+1)\cdot c.`

Doppelsummen

Durch Doppelsummen lässt sich ein zweiter Laufindex in die Funktion einbauen, was die Summenschreibweise von komplexeren Funktionen möglich macht.

`\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}=a_{11}+\ldots+a_{1m}+a_{21}+\ldots+a_{2m}+\ldots+a_{n1}+\cdots+a_{nm}`

Dabei ist `i` der erste Laufindex (hier: `i=1rightarrow1` als untere Grenze) mit der oberen Grenze `n`, `j` der zweite Laufindex (hier:`j=1rightarrow1` als untere Grenze) mit der oberen Grenze `m` und `a_(ij)` die Funktion bezüglich der Laufvariablen.

Variablen

` i ` = erster Laufindex mit oberer Grenze `n`
`j`= zweiter Laufindex mit oberer Grenze `m`
`a_(ij)`= betrachtete Funktion


Das Ergebnis einer Doppelsumme erhält man durch das Einsetzen aller ganzen Zahlen (jeweils von der unteren bis zur oberen Grenze) in allen Kombinationen von `i` und `j` in die Funktion. Man hält also zunächst den einen Laufindex auf dem ersten Wert fest, läuft alle Variablen des zweiten Laufindex durch, dann erhöht man den ersten Laufindex um eine Einheit und lässt wieder den zweiten Laufindex durchlaufen und so weiter. Das folgende Beispiel veranschaulicht die Vorgehensweise bei der Berechnung von Doppelsummen:

`\sum_{i=-1}^{1}\sum_{2}^{4}i+j=(-1+2)+(-1+3)+(-1+4)+(0+2)`

`+(0+3)+(0+4)+(1+2)+(1+3)+(1+4)=27`

Alternativ kann man mit einer Tabelle arbeiten:

tabelle1

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