Homogenität und Skalenerträge

Homogenität

Definition

Wenn die Homogenität einer Funktion untersucht wird, wird betrachtet, ob, wenn man die unabhängigen Variablen dieser Funktion um einen Prozentsatz `z` erhöht, sich der Funktionswert ebenfalls um `z%`, um mehr als `z%` oder um weniger als `z%` erhöht.


In den Wirtschaftswissenschaften wird das Konzept der Homogenität vor allem als Hilfsmittel zur Klassifizierung von Skalenerträgen der Produktion in einem Unternehmen herangezogen.

Skalenerträge

Definition

Skalenerträge geben an, um wie viel sich der Produktionsoutput eines Unternehmens erhöht, wenn die Inputfaktoren um einen bestimmten Faktor erhöht werden.

Konstante Skalenerträge bedeuten, dass wenn alle Inputfaktoren um ` z%` erhöht werden, eine Steigerung des Outputs um ebenfalls `z%` erreicht werden kann. In diesem Fall ist die Produktionsfunktion des Unternehmens linear homogen vom Grad ` k=1`.

Produziert das Unternehmen unter steigenden Skalenerträgen und werden die Inputfaktoren um ` z%` erhöht, so steigt der erreichbare Output hingegen um mehr als ` z%`. Die Funktion ist überlinear homogen vom Grad ` k>1`.

Dahingegen steigt das Produktionsoutput bei sinkenden Skalenerträgen um weniger als ` z%`, wenn die Inputfaktoren um ` z%` erhöht werden. Die Produktionsfunktion ist dann unterlinear homogen vom Grad ` k<1`.

Lassen sich keine Skalenerträge dieser Art feststellen, ist die Produktionsfunktion inhomogen.


Als Beispiel wird im Folgenden eine Firma angenommen, die mithilfe von Kapital (`K `) und Arbeit (`L `) ein Produkt als Output (`Y `) erzeugt. Der Unternehmer möchte wissen, welche Skalenerträge vorliegen, um anschließend gegebenenfalls Konsequenzen ziehen zu können. Die bisherige Produktionsfunktion des Unternehmers lautet:

` Y(K,L)=K^2+L^2`

Es gilt also zu berechnen, um wie viel der Output steigt, wenn der Input um einen bestimmten Faktor `\lambda` erhöht wird (z.B. verdoppelt wird). Am Beispiel des vorherigen Unternehmers ändert sich die Produktionsfunktion bei Ver-`\lambda`-fachung der Inputfaktoren also zu:

`Y(\lambda K,\lambda L)=(\lambda K)^2+(\lambda L)^2`

Im nächsten Schritt wird die neue Produktionsfunktion dann weitestgehend vereinfacht:

` Y(\lambda K,\lambda L)=(\lambda K)^2+(\lambda L)^2=\lambda^2K^2+\lambda^2L^2=\lambda^2\cdot(K^2+L^2)=\lambda²Y(K,L)`

In diesem Fall konnte das Produktionsoutput ` Y ` durch eine `\lambda `-fache Erhöhung des Inputs um das `\lambda^2`-fache erhöht werden. Würde der Unternehmer also das `10`-fache seiner Inputs nutzen (`100€` statt `10€` Kapital und `20` statt zwei Mitarbeitern), könnte er das Output um das `10^2=100`-fache steigern:

Vor Änderung: ` \ \ \ \ `` Y(10,\ 2)=(10)^2+2^2=104`.
Nach Änderung: ` \ \ \ \ `` Y(100,\ 20)=(100)^2+(20)^2=10400`

Der Unternehmer produziert also unter steigenden Skalenerträgen.

Allgemeine Berechnung des Homogenitätsgrads

Allgemein lässt sich das Vorgehen zum Bestimmen des Homogenitätsgrads auf vier Schritte reduzieren:

tabelle_1

Falls der Rechenweg bei der Frage des Homogenitätsgrads irrelevant ist, kann diese durch Abzählen der Exponenten schneller gelöst werden:

Tabelle 2

Liegt die Produktionsfunktion als gebrochenrationale Funktion vor, müssen Zähler und Nenner zunächst getrennt voneinander betrachtet und anschließend in Zusammenhang gebracht werden:

Tabelle 3

Wenn Zähler und/oder Nenner (einzeln betrachtet) inhomogen sind / ist, so ist die gesamte Funktion ebenfalls inhomogen.

Die beiden Homogenitätsgrade werden voneinander subtrahiert, weil bei ausführlicher Herleitung ein Bruch der Form

` Y(\lambdax_1,\lambdax_2,\lambdax_3 )=(\lambda^5 (x_1^5+x_2^3?x_3^2))/(\lambda^3,5 (x_1 x_2^2 x_3^(0,5)))`

resultieren würde. Mithilfe eines Potenzgesetzes (`frac(a^m)(a^n)=a^(m-n)`) kann dieser dann vereinfacht werden:

`=\lambda^(5-3,5)cdot(x_1^5+x_2^3cdotx_3^2)/(x_1 x_2^2 x_3^(0,5) )=\lambda^(1,5)cdot(x_1^5+x_2^3cdotx_3^2)/(x_1 x_2^2 x_3^(0,5))`

`=\lambda^(1,5)cdotY(x_1,x_2,x_3 )`

Auch bei gebrochenrationalen Funktionen kann man also sowohl mit einem schnellen, als auch mit einem ausführlicheren Weg arbeiten.



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