Sattelpunkt berechnen

Die Berechnung von Sattelpunkten ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion.

Definition

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit einer Steigung von Null.


Die Bedingungen für das Vorliegen eines Sattelpunkts ergeben sich also durch Kombination der Bedingungen von Wendepunkten und der Bedingung, dass die Steigung gleich Null sein muss. Beginnt man mit der „Steigung von Null“, ergibt sich bereits die Bedingung für die erste Ableitung, welche dann an dieser Stelle Null sein muss. Im Hinblick auf die Eigenschaft eines Wendepunkts ergeben sich für einen Sattelpunkt auch die Bedingungen für die zweite und dritte Ableitung.

Merke

Zusammengefasst sind die Bedingungen für einen Sattelpunkt also:

`f\prime(x)=0,\ f\prime\prime(x)=0 ` und ` f\prime\prime\prime(x)\ne0`


Man setzt also die erste Ableitung gleich Null und testet die resultierenden Werte mit der zweiten und dritten Ableitung. Sind alle Bedingungen erfüllt, liegt ein Sattelpunkt vor. Den dazugehörigen `y` -Wert erhält man durch Einsetzen der berechneten Werte von `x` in die Ausgangsfunktion ` f(x)`.

Das Problem an dieser Überprüfung ist, dass sie nicht alle Sattelpunkte abdeckt. Zur Verdeutlichung wird im Folgenden die Funktion ` f(x)=x^5` betrachtet:

Die Funktion `f(x)` hat ihren Sattelpunkt bei:

` f\prime(x)=5x^4=0 \ \ rightarrow \ \ x=0`

Setzt man diese Stelle nun in die zweite und dritte Ableitung ein, erhält man:

` f\prime\prime(0)=20*0^3=0` und ` f\prime\prime\prime(0)=60*0^2=0`

Laut der genannten Bedingungen liegt hier also kein Sattelpunkt vor, in der Abbildung wird aber deutlich, dass an der Stelle `x=0` sehr wohl ein Sattelpunkt vorhanden ist. In diesem Fall lohnt sich die genauere Betrachtung der ersten und zweiten Ableitung:

Die erste Ableitung hat an der Stelle des Sattelpunkts ein lokales Extremum, das bei ` f\prime(x)=y=0` liegen muss. Dies liegt daran, dass die Steigung der Funktion im Sattelpunkt Null ist (`rightarrow \ f\prime(x)=0`), der Sattelpunkt aber auch gleichzeitig einen Wendepunkt darstellt (`rightarrow ` lokales Extremum in der Ableitung):

sattelpunkt2

Durch diese Gegebenheit ändert sich das Vorzeichen der ersten Ableitung nicht, dieses ist sowohl vor als auch nach dem Sattelpunkt positiv. Im Falle eins normalen lokalen Extremums wäre hier ein Vorzeichenwechsel gewesen (Vor dem Tiefpunkt – und nach dem Tiefpunkt `+` bzw. vor dem Hochpunkt `+` und nach dem Hochpunkt `-`). Diesen fehlenden Vorzeichenwechsel kann man sich bei der Überprüfung eines Sattelpunktes zunutze machen. Dazu berechnet man die Funktionswerte links und rechts des vermuteten Sattelpunktes und überprüft diese auf einen (fehlenden) Vorzeichenwechsel:

tabelle1

Im Beispiel liegt also kein Vorzeichenwechsel vor (beide `+`), daraus folgt, dass der berechnete stationäre Punkt ein Sattelpunkt ist.



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