Reihen

Definition

Eine Reihe `(s_n)_{n\in\mathbb{N}}` ist eine Folge der Partialsummen einer Folge `(a_n)_{n\in\mathbb{N}}`.


Für das Aufstellen einer Reihe benötigt man also zunächst eine ihr zugrundeliegende Folge. Von dieser werden dann die ersten `n` Folgeglieder aufaddiert, um die `n`-te Partialsumme und somit das `n`-te Element der Reihe zu erhalten:

`s_n=\sum_{i=1}^{n}a_i`

Schreibt man die einzelnen Partialsummen hintereinander auf, stellen diese also wieder eine Folge dar. Die Folge dieser Partialsummen heißt dann Reihe:

`(s_n)_(n\inmathbb{N})=(s_1,s_2,s_3,…)=(a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,…)`

Arithmetische und geometrische Reihen

Da Reihen eine besondere Art von Folgen sind, können sie - genau wie andere Folgen auch - arithmetisch oder geometrisch sein. Dabei ist eine Reihe dann arithmetisch, wenn sie aus einer arithmetischen Folge gebildet wird, und geometrisch, wenn sie aus einer geometrischen Folge gebildet wird.
Ist eine Folge arithmetisch, so lässt sich die `n`-te Partialsumme mithilfe der folgenden Formel berechnen:

` s_n=ncdotfrac{a_1 + a_n}{2}`

Im Fall einer geometrischen Folge lässt sich die `n`-te Partialsumme wie folgt berechnen:

` s_n=a_0sum_(k=0)^n q^kcdot`

Konvergenz einer Reihe

Wie Folgen können auch Reihen gegen einen Grenzwert konvergieren. Dabei sind die Aussagen bezüglich der Konvergenz analog zu denen für Folgen, d.h. eine Reihe ist konvergent, falls gilt:

`lim_(nrightarrow\infty)s_n=\sum_{i=0}^{infty}a_i\ne\pm\infty`

Um zu bestimmen, ob eine Reihe konvergent oder divergent ist, gibt es verschiedene Methoden. Bekannt sind vor allem das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium, welche im Folgenden vorgestellt werden.

Quotientenkriterium

Das Quotientenkriterium ist insbesondere dann zur Bestimmung der Konvergenz einer Reihe geeignet, wenn die zugrundeliegende Folge aus Produkten oder Quotienten besteht, die durch Fakultäten (`n!`), Binomialkoeffizienten `((n), (x))` oder Ausdrücken der Form `x^n` gebildet werden. So lässt sich beispielsweise die Konvergenz der Reihe, die auf der Folge `a_n=frac{2^n}{n!}cdot((n), (1))`basiert, mithilfe des Quotientenkriteriums untersuchen. Liegt in der Bildungsvorschrift der Folge eine oder mehrere Summen vor, ist das Quotientenkriterium hingegen eher ungeeignet.

Zur Begründung des Quotientenkriteriums wird die der folgende Ausdruck untersucht:

`\lim_(nrightarrow\infty)|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\ q`

Dabei sind `a_n` und `a_(n+1)` zwei aufeinanderfolgende Glieder der Folge, aus der die untersuchte Reihe resultiert. Gefragt ist also der Betrag des Quotienten zwischen zwei Folgegliedern, die in der Folge sehr spät kommen.
Um zu entscheiden, ob die Reihe konvergent oder divergent ist, werden folgende Regeln angewandt:

`\lim_(nrightarrow\infty)|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\ q<1rightarrow` die Reihe ist konvergent
`\lim_(nrightarrow\infty)|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\ q>1rightarrow` die Reihe ist divergent
`\lim_(nrightarrow\infty)|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\ q=1rightarrow` keine Aussage möglich

Die Intuition dahinter ist folgende: Ist der Quotient `>1`, ist das Glied `a_(n+1)` größer als das vorangehende Glied `a_n`. Die Reihe wird also immer größer, da auch die darauffolgenden Folgenglieder immer größer werden. Das heißt die Reihe divergiert. Wenn der Quotient `<1` ist, bedeutet das, dass die Glieder der Folge immer kleiner werden, wodurch der Reihe immer weniger hinzuaddiert wird. Folglich wird sich die Reihe für sehr späte Reihenglieder einem Grenzwert annähern, das heißt sie konvergiert.

Zur Bestimmung wird also zunächst der Bruch aufgestellt. Dieser Bruch wird dann vereinfacht, sodass man dann den Grenzwert für `nrightarrow\infty` leichter berechnen kann. Dabei muss der Betrag berücksichtigt werden. Zuletzt wird der resultierende Grenzwert nach dem genannten Muster interpretiert (`<1` konvergente Reihe, `>1` divergente Reihe, `=1` keine Aussage möglich).

Anhand eines Beispiels soll dieses Vorgehen verdeutlich werden. Die Folge sei gegeben durch: `a_n=frac{2^n}{n!}cdot((n), (1))`

Bruch aufstellen und vereinfachen:

`frac{a_n+1}{a_n}=frac{frac{2^(n+1)}{(n+1)!}cdot((n+1),(1))}{frac{2^n}{n!}cdot((n),(1))} = frac{frac{2^(n+1)}{(n+1)!}}{frac{2^n}{n!}} cdot frac{frac{(n+1)!}{1! (n+1-1)!}}{frac{n!}{1! (n-1)!}} = frac{2^(n+1)}{(n+1)!} cdot frac{n!}{2^n} cdot frac{frac{(n+1)!}{n!}}{frac{n!}{(n-1)!}}`

`= frac{2^(n+1)}{(n+1)!} cdot frac{n!}{2^n} cdot frac{(n+1)!}{n!} cdot frac{(n-1)!}{n!} = frac{2^(n+1)}{2^n} cdot frac{n!}{n!} cdot frac{(n+1)!}{(n+1)!} cdot frac{(n-1)!}{n!}`

`= 2^(n+1-n) cdot 1 cdot 1 cdot frac{1}{n} = 2 cdot frac{1}{n} = frac{2}{n}`

Grenzwert bestimmen:

`\lim_(nrightarrow\infty)|\frac{2}{n}|=0`

Grenzwert nach den beschriebenen Regeln interpretieren:

`\lim_(nrightarrow\infty)|\frac{2}{n}|=0 < 1`

Die Reihe ist konvergent.

Wurzelkriterium

Das Wurzelkriterium ist insbesondere dann zur Bestimmung der Konvergenz einer Reihe geeignet, wenn die zugrundeliegende Folge aus Termen mit `(…)^n` besteht. Bei Summen in der Bildungsvorschrift der Folge ist das Wurzelkriterium – genau wie das Quotientenkriterium – zur Bestimmung der Konvergenz einer Reihe eher ungeeignet.

Auch für die Begründung des Wurzelkriteriums benötigt man die der Reihe zugrundeliegende Folge `a_n`. Das Wurzelkriterium besagt, dass eine Reihe (`s_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n`) konvergent ist, wenn für die dazugehörige Folge gilt:

`lim_(N->oo) root(n)(abs(a_n)) = q < 1`.

Der Beweis, der hinter dem Wurzelkriterium steckt, ist vergleichsweise kompliziert, das Ergebnis wird aber wie beim Quotientenkriterium interpretiert: Wenn `q=1` ist, ist keine Aussage über die Konvergenz der Reihe möglich, bei `q<1` liegt Konvergenz vor und für `q>1` ist die Reihe divergent.

Zur Bestimmung des oben dargestellten Grenzwerts wird zunächst der Ausdruck `a_n` aufgestellt, von dem dann der Betrag gebildet wird. Dieser lässt sich mithilfe der Rechengesetze für den Betrag vereinfachen. Anschließend kann gegebenenfalls die Wurzel aufgelöst und der Exponent gekürzt werden, sodass die Berechnung des Grenzwertes vereinfacht wird. Dabei können folgende Regeln hilfreich sein:

`lim_(N->oo) root(n)(n) =1`

und

`lim_(N->oo) root(n)(n!) =1`

Der berechnete Grenzwert wird dann wie oben beschrieben interpretiert.

Dieses Vorgehen soll im Folgenden anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Die Folge sei gegeben durch:

`a_n=\ \frac{n^2}{2^n}`

Ausdruck aufstellen und Betrag bilden:

`|a_n|=|\frac{n^2}{2^n}|=\frac{|n^2|}{|2^n|}=\frac{n^2}{2^n}`

Wurzel vereinfachen:

`root(n)(n^2/2^n) = frac{root(n)(n^2)}{root(n)(2^n)} = frac{(root(n)(n))^2}{2}`

Grenzwert bestimmen:

`lim_(N->oo) frac{(root(n)(n))^2}{2} = 1^2/2 = 1/2`

Grenzwert nach den beschriebenen Regeln interpretieren:

`lim_(N->oo) frac{(root(n)(n))^2}{2} = 1/2 < 1`

Die Reihe ist konvergent.



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