Ableitungsregeln: Quotientenregel

Beim Ableiten einer Funktion, deren Term aus mehreren Teilfunktionen besteht, ist es ratsam, diese Teilfunktionen zunächst zu identifizieren:

`f(x)=g(x) \pm h(x) \ rightarrow`Die Funktion `f(x)` besteht aus den Teilfunktionen `g(x)` und `h(x)`

Definition

Wenn die Teilfunktionen als Quotient vorliegen, wendet man die Quotientenregel an:

` f(x)=\frac(g(x))(h(x)) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=\frac(g^\prime(x)h(x)-g(x)h^\prime(x))(h(x)^2)`


Merke

Eine Eselsbrücke, mit der man sich die Quotientenregel gut merken kann, ist

`\frac(NAZ-ZAN)(N^2)`

`N` = Nenner
`A` = Ableitung
`Z` = Zähler


Beispiel:

`f(x)=frac(2x^2+3)(8x+1)`
`Z=2x^2+3`
`AZ=4x`
`N=8x+1`
`AN=8`
`f\prime(x)=frac(NAZ-ZAN)(N^2)`
`f\prime(x)=frac((4x)(8x+1)-(8)(2x^2+3))((8x+1)^2)`

Merke

Es ist hilfreich, bei der Quotientenregel den Term im Nenner nicht aufzulösen, sondern als `(\ldots)^2` stehen zu lassen, da erneutes Ableiten im Nenner dann zu `(\ldots)^4`, `(\ldots)^6`, `(\ldots)^8` usw. führt. Häufig (besonders beim Vorkommen von `e`-Funktionen) ist es zudem möglich, innerhalb des Bruchs zu kürzen, sofern der Nenner nicht „vereinfacht“ wurde.


Weitere wichtige Ableitungsregeln neben der Quotientenregel sind die Kettenregel und die Produktregel.



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