Nullstellen berechnen: Polynomdivision

Die Polynomdivision ähnelt der schriftlichen Division, welche anhand des Beispiels `681:3` noch einmal erklärt werden soll:

Bei der schriftlichen Division teilt man die erste Zahl (`6`) durch den Divisor (`3`) und schreibt das höchstmögliche, ganzzahlige Ergebnis auf (`2`). Anschließend rechnet man rückwärts (`2*3=6`) und zieht dieses Ergebnis von der ersten Zahl ab (`6-6=0`). Als nächstes wird die zweite Zahl (`8`) nach unten gezogen (`08`) und durch den Divisor (`3`) geteilt. Das höchstmögliche, ganzzahlige Ergebnis (`2`) wird aufgeschrieben. Dann wird wieder rückwärts gerechnet (`2*3=6`) und abgezogen (`08-6=2`). Anschließend wird die dritte Zahl (`1`) nach unten gezogen (`21`) und durch den Divisor (`3`) geteilt. Das höchstmögliche ganzzahlige Ergebnis (`7`) wird notiert, es wird wieder rückwärts gerechnet (`7*3=21`) und abgezogen (`21-21=0`). Diese Schritte werden so lange wiederholt, bis alle Zahlen des Dividenden (`681`) behandelt wurden.

Nach diesem Prinzip arbeitet auch die Polynomdivision. Statt zweier Zahlen werden allerdings Terme dividiert. So soll z.B. aus der Funktion

` f(x)=x^4+2x^3-x^2+4`

ein Produkt der Form

` f(x)=(x+2)*(x^3-x+2)`

entstehen, um anschließend mithilfe des Nullprodukts vereinfachen zu können.
Dazu muss zunächst eine Nullstelle erraten werden.

Im vorliegenden Beispiel gibt es eine Nullstelle bei ` x=-2`, woraus folgt: ` x+2=0`. Die linke Seite dieser Gleichung (`x+2`) stellt dann den Divisor dar, durch den die Funktion geteilt wird, um auf den zweiten Faktor des Nullprodukts zu kommen:

Dazu teilt man – wie bei der schriftlichen Division mit Zahlen – den ersten Summanden (`x^4`) durch ` x `, schreibt das Ergebnis (`x^3`) auf und rechnet rückwärts (`x^3*(x+2)=x^4+2x^3`). Das Ergebnis hiervon wird dann vom Dividend abgezogen (Rest: `0`). Der nächste Summand wird nach unten gezogen, es wird wieder durch ` x ` geteilt, das Ergebnis notiert (`-x`) und rückwärts gerechnet (`-x*(x+2)=-x^2-2x`). Das Ergebnis hiervon wird wieder abgezogen. Diese Schritte wiederholen sich solange, bis alle Summanden des Dividenden behandelt wurden. Anschließend kann man die Funktion dann in die Form eines Produkts bringen:

` f(x)=(x+2)*(x^3-x+2)`

Um die Nullstellen zu berechnen, wendet man das Nullprodukt an:

`(x+2)=0` oder `x^3-x+2=0`,

wobei die zweite Gleichung wieder eine Polynomdivision erfordert.

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