Nullstellen berechnen: Polynomdivision

Definition

Die Polynomdivision ist ein Verfahren zur Nullstellenberechnung von Polynomen. Das Ziel dabei ist, eine andere Schreibweise für die Funktionsvorschrift zu finden, bei der das Nullprodukt angewendet werden kann.


Die Polynomdivision ähnelt der schriftlichen Division, welche anhand des Beispiels `681:3` noch einmal erklärt werden soll:

tabelle_3

Bei der schriftlichen Division teilt man die erste Zahl (`6`) durch den Divisor (`3`) und schreibt das höchstmögliche, ganzzahlige Ergebnis auf (`2`). Anschließend rechnet man rückwärts (`2*3=6`) und zieht dieses Ergebnis von der ersten Zahl ab (`6-6=0`). Als nächstes wird die zweite Zahl (`8`) nach unten gezogen (`08`) und durch den Divisor (`3`) geteilt. Das höchstmögliche, ganzzahlige Ergebnis (`2`) wird aufgeschrieben. Dann wird wieder rückwärts gerechnet (`2*3=6`) und abgezogen (`08-6=2`). Anschließend wird die dritte Zahl (`1`) nach unten gezogen (`21`) und durch den Divisor (`3`) geteilt. Das höchstmögliche ganzzahlige Ergebnis (`7`) wird notiert, es wird wieder rückwärts gerechnet (`7*3=21`) und abgezogen (`21-21=0`). Diese Schritte werden so lange wiederholt, bis alle Zahlen des Dividenden (`681`) behandelt wurden.

Nach diesem Prinzip arbeitet auch die Polynomdivision. Statt zweier Zahlen werden allerdings Terme dividiert. So soll z.B. aus der Funktion

` f(x)=x^4+2x^3-x^2+4`

ein Produkt der Form

` f(x)=(x+2)*(x^3-x+2)`

entstehen, um anschließend mithilfe des Nullprodukts vereinfachen zu können.
Dazu muss zunächst eine Nullstelle erraten werden.

Merke

Wenn keine Nullstelle in der Aufgabenstellung angegeben ist, empfiehlt es sich, typische Zahlen wie `-2, -1, 0, 1, 2` zu überprüfen.


Im vorliegenden Beispiel gibt es eine Nullstelle bei ` x=-2`, woraus folgt: ` x+2=0`. Die linke Seite dieser Gleichung (`x+2`) stellt dann den Divisor dar, durch den die Funktion geteilt wird, um auf den zweiten Faktor des Nullprodukts zu kommen:

tabelle4

Dazu teilt man – wie bei der schriftlichen Division mit Zahlen – den ersten Summanden (`x^4`) durch ` x `, schreibt das Ergebnis (`x^3`) auf und rechnet rückwärts (`x^3*(x+2)=x^4+2x^3`). Das Ergebnis hiervon wird dann vom Dividend abgezogen (Rest: `0`). Der nächste Summand wird nach unten gezogen, es wird wieder durch ` x ` geteilt, das Ergebnis notiert (`-x`) und rückwärts gerechnet (`-x*(x+2)=-x^2-2x`). Das Ergebnis hiervon wird wieder abgezogen. Diese Schritte wiederholen sich solange, bis alle Summanden des Dividenden behandelt wurden. Anschließend kann man die Funktion dann in die Form eines Produkts bringen:

` f(x)=(x+2)*(x^3-x+2)`

Um die Nullstellen zu berechnen, wendet man das Nullprodukt an:

`(x+2)=0` oder `x^3-x+2=0`,

wobei die zweite Gleichung wieder eine Polynomdivision erfordert.



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