Partielle Integration

Definition

Eine Funktion, die als Produkt vorliegt, wird mit der Produktregel abgeleitet. Der entsprechende Vorgang bei der Integration heißt partielle Integration. Die allgemeine Formel zur partiellen Integration lautet wie folgt:

Funktion: ` f(x)=g\prime(x)h(x)`

Stammfunktion: ` F(x)=\intg\prime(x)h(x)dx =g(x)h(x)-\intg(x)h\prime(x)dx`


Der eine Faktor (`g(x)`) wird also integriert (aus ` g\prime(x)` wird ` g(x)`), der andere Faktor (`h(x)`) wird abgeleitet (aus ` h(x)` wird ` h\prime(x)`). Welcher Faktor wie behandelt wird, ist nicht festgelegt. Ziel sollte es aber sein, dass das neue Integral leichter zu berechnen ist. Am besten leitet man also zunächst beide Faktoren ab und überlegt sich, welcher Teil das folgende Integral vereinfacht. Dieser Schritt wird im Folgenden verdeutlicht:

Funktion: ` f(x)=x^3\cdot\lnx`

Ableitungen: ` x^3rightarrow3x² ` und ` \lnxrightarrow\frac(1)(x)`

Stammfunktion: ` x^3rightarrow\frac(1)(4)x^4 ` und ` \lnxrightarrow\lnx*x-x `

Es ist also wesentlich leichter, den ersten Faktor (`x^3`) als zu integrierenden Faktor zu wählen (in der Formel: ` g\prime(x)`), als den zweiten Faktor (`\lnx`), bei dem erneut ein `\lnx` vorliegen würde. Der (`\lnx`)-Teil sollte deshalb als abzuleitender Faktor genutzt werden (in der Formel: ` h(x)`). Diese Erkenntnisse können dann übersichtlich gesammelt werden:

` g\prime(x)=x^3 ` und ` g(x)=\intx^3dx=\frac(1)(4)x^4`

` h(x)=\lnx` und ` h\prime(x)=\frac(1)(x)`

Anschließend werden diese in die Formel für die partielle Integration eingesetzt - das Resultat stellt die Stammfunktion der Funktion ` f(x)=x^3\lnx` dar:

`F(x)=\frac(1)(4)x^4\lnx-\int\frac(1)(4)x^4\cdot\frac(1)(x)dx`

`=\frac(1)(4)x^4\lnx-\frac(1)(4)``\intx^3dx`

`=\frac(1)(4)x^4\lnx-\frac(1)(4)\cdot\frac(1)(4)x^4+c`

`=\frac(1)(4)x^4(\lnx-\frac(1)(4))+c`



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