Partielle Ableitung

Definition

Eine partielle Ableitung ist die Ableitung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen nach einer Variable. Die anderen unabhängigen Variablen werden dabei wie Konstante behandelt.


Um sich den Vorgang des partiellen Ableitens zu veranschaulichen, kann man sich einen dreidimensionalen Graphen im Längsschnitt aus Perspektive der ` x `- oder `y`-Achse vorstellen. Soll die partielle Ableitung nach ` x ` gebildet werden, stellt man sich also auf die ` x`-Achse und betrachtet den Graph. Dazu wird ` y` auf einen bestimmten Wert festgehalten, beispielsweise ` y=5`. Durch diesen Schritt wird aus einer dreidimensionalen Funktion eine zweidimensionale und man kann wie gewohnt ableiten.

partielle_ableitung

Da ` y ` aber nicht immer auf `5` festgehalten wird, sondern variabel ist, wird ` y ` beim Ableiten wie eine Zahl bzw. wie ein Parameter (`a `) behandelt.

Statt

` f(x,y)=3yx^4`

könnte man also auch schreiben:

` f(x)=3ax^4`,

wie gewohnt ableiten:

` f_x(x)=12ax^3`

und anschließend resubsitutieren:

` f_x(x,y)=12yx^3`

Identisch zu der partiellen Ableitung nach ` x ` wird bei der partiellen Ableitung nach ` y ` ebenfalls die andere erklärende Variable konstant gehalten, also wie ein Parameter behandelt.

` f(x,y)=3yx^4 rightarrow f_x(x,y)=3x^4`.

Zur Unterscheidung dieser partiellen Ableitungen gibt es verschiedene Möglichkeiten. So kann man die erste partielle Ableitung nach ` x ` beispielsweise schreiben als:

`\frac(\partial f(x,y))(\partial x)=f_1(x,y)=f_x(x,y).`

Und analog die erste partielle Ableitung nach ` y ` als:

`\frac(\partial f(x,y))(\partial y)=f_2(x,y)=f_y(x,y)`

Diese Schreibweisen und Regeln zum Ableiten funktionieren im beliebig-dimensionalen Raum, es werden jeweils alle anderen erklärenden Variablen konstant gehalten. Nach welcher Variablen abgeleitet werden soll, erkennt man am `\partial x_i` im Nenner des Bruchs:

`\frac(\partial f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n))(\partial x_i)=f_i(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)`

Sammelt man alle ersten partiellen Ableitungen in einem Vektor (untereinander aufschreiben), so nennt man diesen Vektor Gradient

\begin{align*}\nabla\ f(x_1,x_2,…,x_n )=\left( \begin{matrix}f_{x_1} (x_1,x_2,…,x_n ) \\f_{x_2} (x_1,x_2,…,x_n ) \\... \\f_{x_n} (x_1,x_2,…,x_n )\end{matrix}\right)\end{align*}


Genau wie zweidimensionale Funktionen können auch mehrdimensionale Funktionen mehrfach abgeleitet werden. Die Vorgehensweise ist dabei dieselbe wie bei der partiellen Ableitung erster Ordnung. Die partielle Ableitung zweiter Ordnung lässt sich formal schreiben als:

`\frac(\partial^2f(x,y))(\partial^2x)=\frac(\partial)(\partial x)(\frac(\partial f(x,y))(\partial x))=f_{\x\x}`

wobei in diesem Fall zweimal nach ` x ` abgeleitet wurde. Leitet man die Funktion zweimal nach ` y ` ab, ändert sich die Schreibweise entsprechend zu:

`\frac(\partial^2f(x,y))(\partial^2y)=\frac(\partial)(\partial y)(\frac(\partial f(x,y))(\partial y))=f_(yy)`

Wird zunächst nach ` x ` und anschließend nach `y` abgeleitet, schreibt man:

`\frac(\partial^2f(x,y))(\partial x\partial y)=\frac(\partial)(\partial x)(\frac(\partial f(x,y))(\partial y))=f_(xy)`

Die Schreibweise für die partielle Ableitung zweiter Ordnung, bei der zunächst nach ` y ` und dann nach ` x ` abgeleitet wird, ist analog. Hierzu sei gesagt, dass diese beiden „gemischten Ableitungen“ immer identisch sind, also:

`\frac(\partial^2f(x,y))(\partial x\partial y)=\frac(\partial^2f(x,y))(\partial y\partial x ` bzw.` f_(xy)=f_(yx)`.

Damit diese Gleichheit gilt, muss die Funktion stetig und differenzierbar sein (Satz von Schwarz).

Eine sehr geläufige Möglichkeit, alle zweiten Ableitungen übersichtlich und strukturiert darzustellen, ist die Hesse-Matrix. Mehr dazu erfährst du im Kapitel Hesse-Matrix.



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