Nullstellen berechnen

Wenn nach Nullstellen gefragt wird, sind also nur die entsprechenden `x`-Werte anzugeben. Werden jedoch die Schnittpunkte mit der `x`-Achse gefordert, muss sowohl der `x`-Wert, als auch der `y`-Wert in der Form ` (x_0; 0)` angegeben werden. Wie Nullstellen berechnet werden, hängt im Wesentlichen davon ab, mit welchem Funktionstyp man es zu tun hat. Die Berechnung von Nullstellen ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion.

Gebrochenrationale Funktionen

Wenn eine gebrochenrationale Funktion vorliegt, muss man einen kleinen Kniff anwenden, um die Nullstelle berechnen zu können. Eine gebrochenrationale Funktion sieht beispielsweise so aus:

` f(x)= (3x^3+7x-2)/(2x^2+8)`

Um die Nullstelle einer gebrochenrationalen Funktion bestimmen zu können, muss man wissen, dass ein Bruch dann `=0` ist, wenn sein Zähler `=0` ist. In unserem Besipiel heißt das:

` f(x)=(3x^3+7x-2)/(2x^2+8)=0`


` 3x^3+7x-2 = 0`

Man kann also einfach den Zähler `=0` setzen und die Nullstellen der sich daraus ergebenden ganzrationalen Funktion bestimmen. Wie das geht, wird im Folgenden geschildert.

Ausklammern und Nullprodukt

Der erste Schritt bei der Nullstellenberechnung einer ganzrationalen Funktion sollte immer die Überprüfung sein, ob in jedem Summanden ein ` x ` vorhanden ist. Falls dies der Fall ist, sollte das ` x ` mit dem höchstmöglichen (also mit dem kleinsten, in jedem Term, vorkommenden) Exponenten ausgeklammert werden. Anschließend kann man das Nullprodukt anwenden. Ein Rechenbeispiel findest du im Kapitel Ausklammern und Nullprodukt.

Polynom zweiten Grades

Bei einer quadratischen Funktion ` f(x)=(ax^2+bx+c)` gibt es zwei Formeln, mit denen man die Nullstellen berechnen kann: Die Mitternachtsformel und die pq-Formel (für ein Rechenbeispiel klicke einfach auf den jeweiligen Link!). Beide funktionieren nach demselben Prinzip und liefern dasselbe Ergebnis, vor der Anwendung der pq-Formel muss allerdings ein weiterer Rechenschritt ausgeführt werden.

Außerdem sollte man prüfen, ob eine Binomische Formel angewendet werden kann, da man in diesem Fall ganz einfach die Nullstellen mithilfe des Nullproduktes bestimmen kann.

Biquadratische Funktion

Bei biquadratischen Funktionen (`f (x)=ax^4+bx^2+c`) verhält es sich mit der Nullstellenberechnung ähnlich wie bei quadratischen Funktionen. Bevor man jedoch die Lösungsformel anwendet, ist eine Substitution von ` x²` durch ` z` nötig (`z=x^2`). Durch diese Substitution erhält man die quadratische Funktion

` f (z)=az^2+bz+c`

von welcher die Nullstellen über die Lösungsformeln (Mitternachts-- ` oder ` pq-Formel) berechnet werden können. Man erhält also erneut bis zu zwei Nullstellen (`z_1, z_2`). Da allerdings nicht die Nullstellen der substituierten Funktion, sondern die der ursprünglichen Funktion gesucht sind, müssen die Ergebnisse abschließend noch resubstituiert werden:

` x_1= sqrt z_1, x_2= -sqrt z_1, x_3= sqrt z_2 ` und ` x_4 = -sqrt z_2`

Diese Ergebnisse stellen dann die Nullstellen der ursprünglichen Funktion dar (bis zu vier).

Polynomdivision

Die Polynomdivision ist ein Verfahren zur Nullstellenberechnung von Polynomen. Sie funktioniert ähnlich wie die schriftlichen Division einfacher Zahlen, nur wird bei der Polynomdivision mit Termen gerechnet. Wie die Polynomdivision funktioniert, kannst du im Kapitel Polynomdivision nachlesen.

Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion `f (x)=e^(g(x))` hat keine Nullstellen (und kann auch nicht negativ werden). Eine Nullstelle ist also nur dann möglich, wenn die Funktion um einen Summanden oder um einen Faktor – der Null werden kann – erweitert wird:

` f (x)=e^(g (x))-c \ \ \ \ mit \ \ \ \ cinmathbb(R)^+`

` oder `

`f (x)=e^(g (x))*h(x)`

Zur Nullstellenberechnung wird die Funktion zunächst gleich Null gesetzt. Im Fall des zusätzlichen Summanden wird dieser dann auf die andere Seite gebracht. Anschließend kann man mithilfe des Logarithmus arbeiten, um die Funktion aufzulösen. Die wichtigste Logarithmusregel ist dabei, dass sich der natürliche Logarithmus und die natürliche `e`-Funktion aufheben. Im Folgenden werden die Rechenschritte zur Berechnung der Nullstellen bei `e-`Funktionen aufgeführt:

`lne^(g(x))=g(x)`

Funktion:

`f (x)=e^(g (x))-c`

Rechenschritte:

`e^(g(x))-c=0`                 |` \ +c`

`e^(g(x))=c`                          |` \ ln(\ldots)`

`ln(e)^(g(x))=ln(c)`          |` \ ln(e^a)=a`

`g(x)=ln(c)`

Hierbei muss berücksichtigt werden, dass der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist. Letztlich muss die Funktion also so aufgebaut sein, dass der Logarithmus von einer positiven Zahl berechnet wird. Dies funktioniert entweder, wenn ` e^(g (x))` positiv und die Konstante negativ ist, oder indem `-e^(g (x))` und eine positive Konstante vorliegen:

` f (x)=e^(g (x))-c \ \ \ \ ` oder
`f (x)=-e^(g (x))+c` (jeweils mit `cinmathbb(R)^+` )

Wird die `e`-Funktion mit einem zusätzlichen Faktor kombiniert, können die Nullstellen mithilfe des Nullprodukts gefunden werden:

Funktion:

` f (x)=e^(g (x))* h (x)`

Rechenschritte:

`e^(g(x))*h(x)=0`                | ` \ ` Nullprodukt

`e^(g(x))=0 \ \ \ `oder ` \ \ \ h(x)=0`

`rightarrow \ h(x)=0`

Anschließend wird dieser Teil nach `x` aufgelöst, um die Nullstelle zu ermitteln.

Nullstellennäherung bei komplexen Funktionen

Intervallhalbierung

Bei der Intervallhalbierung wird das vorgegebene Intervall sukzessiv nach bestimmten Gesichtspunkten halbiert. Dabei wird in jedem Schritt bestimmt, in welchem der beiden (Teil-)Intervalle die Nullstelle liegt. Mit diesem Intervall wird dann von vorne begonnen, es wird also wieder halbiert. Dieser Schritt wiederholt sich solange, bis die Nullstelle mit einer hinreichenden Genauigkeit lokalisiert werden konnte (die geforderte Genauigkeit ergibt sich durch die Aufgabenstellung).

Um dieses Verfahren anzuwenden, muss zuerst ein geeignetes Intervall `[a, b]` bestimmt werden, in dem eine (und nur eine!) Nullstelle liegt. Dazu muss gelten:

` f(a)* f(b)<0`

weil einer der beiden Funktionswerte oberhalb (`+`) und einer unterhalb (`-`) der x-Achse liegen muss (`+*-=-`).
Im zweiten Schritt wird der Mittelwert des Intervalls bestimmt. Dieser Mittelwert liegt bei:

` c=frac(a+b)(2)`

und hat den Funktionswert ` f(c)`. Da der Mittelwert – wie der Name schon sagt – in der Mitte des Intervalls liegt, ist der Abstand zu ` a` und ` b` jeweils gleich groß:

` d=frac(b-a)(2)`

Anschließend wird bestimmt, in welchem der Teilintervalle die Nullstelle liegt. Dazu werden erneut die Produkte der Funktionswerte betrachtet:

` f(a)·f(c)<0 rightarrow` Nullstelle ` x_0` liegt in `[a,c]`
` f(a)·f(c)>0 rightarrow` Nullstelle ` x_0` liegt in `[c,b]`
` f(c)=0 rightarrow` Nullstelle ` x_0=c`, Verfahren beendet

Auf Basis dieser Erkenntnis kann man dann die neuen Intervallgrenzen `[a^prime, bprime]` festlegen, entweder als `[a, c]` oder als ` [c, b]`, je nachdem, in welchem Teil die gesuchte Nullstelle liegt. Mit diesem Intervall wird dann von vorne begonnen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wurde.

Im letzten Schritt wird die (genäherte) Nullstelle – falls die echte Nullstelle nicht gefunden wurde – als Mittelwert des zuletzt festgelegten Intervalls bestimmt. Falls zuvor bereits für eine Stelle c gilt, dass ` f(c)=0`, kann das Verfahren an dieser Stelle mit der (genauen) Nullstelle ` x_0=c` beendet werden.

Regula Falsi

Auch beim Regula Falsi-Verfahren zur Näherung von Nullstellen werden zunächst zwei Stellen bzw. Punkte bestimmt, zwischen denen eine (und nur eine!) Nullstelle liegt. Im Gegensatz zur Intervallhalbierung wird bei Regula Falsi eine Sekante (Gerade) zwischen den beiden Punkten berechnet, deren Nullstelle dann zur Bestimmung des neuen Teilintervalls dient.

Zunächst werden also zwei geeignete Punkte ` P_1(a_1, f(a_1))` und ` Q_1(b_1, f(b_1))` gesucht, für die (wie bei der Intervallhalbierung) gilt:

` f(a_1)·f(b_1)<0`

Anschließend kann die Sekante bestimmt werden, die durch die beiden Punkte ` P_1` und ` Q_1` verläuft. Von dieser muss dann die Nullstelle bestimmt werden. Alternativ kann die Nullstelle ` c_2` (erster Schritt der zweiten Iterationsstufe) direkt mit der Formel

` c_2=a_1-frac(b_1-a_1)(f(b_1)-f(a_1))f(a_1)`

berechnet werden.

Anschließend wird wieder bestimmt, in welchem der Teilintervalle die Nullstelle liegt:

` f(a_1)·f(c_2)<0 rightarrow` Nullstelle ` x_0` in `[a_1, c_2] rightarrow a_2=a_1, b_2=c_2`
` f(a_1)·f(c_2)>0 rightarrow` Nullstelle ` x_0` in `[c_2,b_1] rightarrow a_2=c_2, b_2=b_1`
` f(c_2)=0 \ rightarrow \ ` Nullstelle ` x_0=c_2`, Verfahren beendet.

Dadurch ergeben sich die neuen Punkte ` P_k(a_k,f(a_k))` und ` Q_k(b_k,f(b_k))`, mit denen das Verfahren wiederholt wird, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wurde. Es wird also erneut die Nullstelle der Sekante zwischen den Punkten ` P_k ` und ` Q_k` bestimmt. Allgemein lautet die Formel zur Berechnung dieser:

` c_(k+1=)=a_k-frac(b_k-a_k)(f(b_k)-f(a_k))f(a_k)`.

Auch die Bestimmungsregeln für das Teilintervall können verallgemeinert werden:

`f(a_k)·f(c_k)+1<0 rightarrow `Nullstelle` \ x_0 in [a_k, c_(k+1)] rightarrow a_(k+1)=a_k, b_(k+1)=c_(k+1)`

`f(a_k)·f(c_k)+1>0 rightarrow `Nullstelle` \ x_0 in [c_(k+1),b_k] rightarrow a_(k+1)=c_(k+1), b_(k+1)=b_k`

`f(c_(k+1))=0 rightarrow `Nullstelle` \ x_0=c_(k+1)`, Verfahren beendet.

Als (genäherte) Nullstelle wird die Nullstelle der Sekante der zuletzt berechneten Punkte verwendet. Falls zuvor bereits für eine Stelle ` c_k` gilt, dass ` f(c_k)=0`, kann an dieser Stelle abgebrochen werden. Dann liegt die (genaue) Nullstelle bei ` x_0=c_k`.

Newton-Verfahren

Im Gegensatz zu den zuvor genannten Verfahren wird beim Newton-Verfahren nur ein Punkt benötigt. Dieser Punkt sollte möglichst nah an der gesuchten Nullstelle liegen. Im zweiten Schritt wird dann eine Tangente (Eine Gerade, die den Graphen nur berührt) an den Funktionsgraphen in diesem Punkt angelegt. Von dieser Tangenten wird dann die Nullstelle berechnet. An dieser Nullstelle wird erneut eine Tangente am Funktionsgraphen aufgestellt, mit welcher wie zuvor weiter gearbeitet wird. Wie diese Schritte ausgeführt werden, wird im Artikel zum Newton-Verfahren näher beschrieben.

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