Newton-Verfahren

Definition

Das Newton-Verfahren ist eine Methode der Näherung von Nullstellen bei komplexen Funktionen.


Zunächst wird ein Punkt ` P_1(x_1,f(x_1))` möglichst nah an der erwarteten Nullstelle bestimmt. Die Tangente an diesem Punkt hat ihre Nullstelle bei:

` x_2=x_1-frac(f(x_1))(f^prime(x_1))`

Dazu darf die Steigung `fprime(x_1)` der Tangente nicht Null sein, sonst würde durch Null geteilt werden. Graphisch gesehen lässt sich dies dadurch erklären, dass die Tangente bei einer Steigung von Null waagerecht verläuft, wodurch eine Nullstelle nicht möglich ist.

Auf Basis der errechneten Nullstelle wird dann der Punkt ` P_2(x_2,f(x_2))` bestimmt. Falls ` f(x_2)=0` gilt, kann das Verfahren beendet werden. Die gesuchte Nullstelle ist dann ` x_0=x_2`. Ansonsten wird das Verfahren mit dem neuen Punkt bis zur gewünschten Genauigkeit wiederholt.

Allgemein wird also der Punkt ` P_k(x_k,f(x_k))` bestimmt. An diesem Punkt wird eine Tangente an den Funktionsgraphen angelegt, von welcher die Nullstelle berechnet wird. Diese liegt bei:

` x_(k+1)=x_k-frac(f(x_k))(f^prime(x_k))`

Anschließend wird der neue Punkt ` P_(k+1)(x_(k+1), f(x_(k+1))` bestimmt, mit welchem das Verfahren bis zur gewünschten Genauigkeit wiederholt wird. Falls bei einer Wiederholung ` f(x_k)=0` ist, so wurde die Nullstelle ` x_0=x_k` gefunden und das Newton-Verfahren kann beendet werden.

Graphisch lässt sich das Verfahren wie folgt darstellen:

newton1 newton2

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