Monotonieverhalten

Definition

Das Monotonieverhalten einer Funktion bezieht sich auf die Frage, ob eine Funktion in einem bestimmten Bereich durchgehend steigt oder fällt.


Die Untersuchung der Monotonie einer Funktion ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion.

Merke

Steigung und Gefälle sind bekannt aus den Bergen (siehe Abbildung): In allen Bereichen, in denen der Wanderer bergauf geht, ist die Funktion des Bergrückens monoton steigend (In der Abbildung die Bereiche A und C). Geht er hingegen bergab, ist die Funktion des Bergrückens monoton fallend (Bereich D).


Monotonie

Unterscheiden muss man dann noch zwischen strenger Monotonie und nicht-strenger Monotonie. Strenge Monotonie heißt, dass die Funktion wirklich steigt bzw. wirklich fällt und dabei nie gerade verläuft (In der Abbildung oben verläuft die Funktion streng monoton in den Bereichen A, C und D, aber nur, wenn die Randwerte, an denen die Funktion die Steigung Null hat, nicht mit betrachtet werden). Um dies zu verdeutlichen, kann ein Plateau auf besagtem Berg betrachtet werden (Bereich B): Auf diesem Plateau beträgt die Steigung Null (Prozent), aber auch das Gefälle beträgt Null (Prozent). Die Funktion ist hier also sowohl monoton steigend als auch monoton fallend, sie ist aber nicht streng monoton steigend und auch nicht streng monoton fallend.

Da die Ableitung einer Funktion ihre Steigung darstellt und das Monotonieverhalten eine Frage der Steigung ist, kann die Ableitung zur Untersuchung des Monotonieverhaltens herangezogen werden. Wenn die Ableitung für den untersuchten Bereich durchgehend größer Null ist, ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton steigend; Ist die durchgehend kleiner Null, ist die Funktion streng monoton fallend. Ist die Steigung in einem Bereich gleich Null, muss auf die Strenge verzichtet werden.

Merke

Formal gesehen lässt sich das Monotonieverhalten demnach wie folgt kategorisieren:

` f\prime(x)>0 \ \ \ \ rightarrow` streng monoton steigend.

` f\prime(x)<0 \ \ \ \ rightarrow` streng monoton fallend.

` f\prime(x)\geq0 \ \ \ \ rightarrow` monoton steigend.

` f\prime(x)\le0 \ \ \ \ rightarrow` monoton fallend.

` f\prime(x)=0 \ \ \ \ rightarrow` monoton steigend und monoton fallend.


Man bildet zur Untersuchung des Monotonieverhaltens also die erste Ableitung einer Funktion und überprüft, in welchen Intervallen diese positiv und in welchen sie negativ ist. Dazu stellt man eine Ungleichung auf, die sich ähnlich wie Gleichungen lösen lässt. Einziger Unterschied: Wird `*(-a), :(-a)` gerechnet oder die negative Wurzel (`-\sqrt\ldots`) gezogen, ändert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens.

Möchte man z.B. wissen, in welchem Bereich die Funktion ` f(x)` streng monoton fallend ist, stellt man die Ungleichung wie folgt auf:

` f\prime(x)<0`

Am Beispiel der Funktion ` f(x)=-x^3+27x` soll das Lösen dieser Ungleichung nun verdeutlicht werden:

`f\prime(x)=-3x^2+27 \ \ \ \ rightarrow -3x^2+27<0 \ \ \ \ \ |-27`

` rightarrow -3x²<-27 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:-(3)`

` rightarrow x^2>9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\pm\sqrt\ldots`

` rightarrow x_1>3` und ` x_2<-3`

Die Funktion `f(x)=-x^3+27x` ist also streng monoton fallend für `x<-3` und für `x>3`. Im Umkehrschluss ist sie streng monoton steigend für `-3<x<3`. Wenn auf die Strenge verzichtet wird, ist sie monoton fallend für ` x\le-3` und für ` x\geq3` bzw. monoton steigend für `-3\le x\le3`.



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