Nullstellen berechnen: Mitternachtsformel (abc-Formel)

Liegt eine quadratische Funktion der Form `f(x)=ax^2+bx+c=0` vor, von welcher die Nullstellen gesucht werden, so kann die Mitternachtsformel zur Berechnung der Nullstellen verwendet werden.

Formel

Mitternachtsformel:

` x_(1,2)=frac(-bpmsqrt(b^2-4ac))(2a)`


Hierbei muss auf die korrekte Klammersetzung geachtet werden. Soll z.B. die Funktion ` f (x)=-5x^2+2x+10` auf ihre Nullstellen untersucht werden, so lassen sich `a, b` und `c` als `a=-5, b=2` und `c=10` ablesen. Eingesetzt in die Mitternachtsformel ergibt sich somit:

`x_(1,2)=frac(-2pmsqrt(2^2-4*(-5)*10))(2*(-5))`

Wenn man nun nach `x_(1,2)` auflöst, ergeben sich bis zu zwei Nullstellen: Falls der Term unter der Wurzel größer Null ist, erhält man genau zwei Nullstellen, da der Wert der Wurzel für die eine Nullstelle addiert und für die andere subtrahiert wird. Zwei Nullstellen bedeuten, dass der Scheitelpunkt der Funktion entweder über `x`-Achse mit nach unten geöffneten Ästen oder unter der `x`-Achse mit nach oben geöffneten Ästen liegt.

Ergibt der Term unter der Wurzel Null, hat die quadratische Funktion nur eine Nullstelle, da sowohl für `+` als auch für `–` der gleiche Wert resultiert. In diesem Fall liegt der Scheitelpunkt der Parabel auf der `x`-Achse.

Ist das Ergebnis unter der Wurzel negativ, hat die Funktion hingegen keine Nullstelle, da die Wurzel aus einem negativen Wert nicht definiert ist. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt in diesem Fall entweder über der `x`-Achse mit nach oben geöffneten Ästen oder unter der `x`-Achse mit nach unten geöffneten Ästen.

Eine Alternative zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion ist die hier erklärte `pq`-Formel.



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