Mengenlehre - Mengen und Intervalle

Für Mengen gibt es zwei allgemein bekannte Schreibweisen. Entweder es werden alle Elemente aufgezählt, oder es wird beschrieben, welche Eigenschaften die Elemente der Menge haben:

Menge der Zahlen 2, 3 und 4:` \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A={2,3,4}`
Menge der Zahlen zwischen 0 und 3: ` \ \ \ \ \ \ \ \ B={x|0 < x < 3}`

Letztere Schreibweise wird dabei gesprochen als: „`B` ist die Menge aller `x`, für die gilt: `x` ist größer als 0 und kleiner als 3.“

In der Mathematik gibt es auch bereits vordefinierte Mengen, die oft zum Einsatz kommen, um beispielsweise den Definitionsbereich oder Wertebereich einer Funktion darzustellen. Das sind die Menge der natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, rationalen und irrationalen Zahlen, reellen Zahlen und komplexen Zahlen.

Mengenoperationen

Möchte man über die Zugehörigkeit eines einzelnen Elements zu einer Menge urteilen, gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder das Element ist in der Menge enthalten oder nicht. Man schreibt `x\inA` bzw. `x\notinA`.

Betrachtet man die Beziehung zwischen zwei Mengen, gibt es vier Möglichkeiten, wie diese zueinander stehen können. Zum einen können die Mengen identisch sein (Gleichheit, `A=B`). Jedes Element, das in der Menge A liegt, liegt dann auch in der Menge `B` und umgekehrt:

Eine zweite Möglichkeit ist, dass eine Menge eine Teilmenge von der anderen ist, sie aber nicht vollständig identisch sind (`AsubsetBrightarrow``A` ist in `B` enthalten, `A` ist eine (echte) Teilmenge von `B`). Alle Elemente der Menge `A` sind dann auch in der Menge `B` enthalten, aber nicht umgekehrt:

Die dritte Möglichkeit besteht in einer Überlappung (Schnittmenge, `A\cap\ B={x_1,x_2,\ldots}`). Die fraglichen Elemente müssen dann in beiden Mengen vorliegen:

Die letzte Möglichkeit ist, dass sich die beiden Mengen gegenseitig ausschließen und somit keine gemeinsamen Elemente haben (`A\cap\ B={}`), leere Schnittmenge, die Mengen sind disjunkt):

In der Anwendung kann man sich diese Zusammenhänge zwischen Mengen nützlich machen, um aus bestehenden Mengen neue zu bilden. Möchte man zwei Mengen verknüpfen, um so nur einen bestimmten Teil der Mengen abzudecken, kann man diese über verschiedene Operatoren verbinden. Bildet man den Durchschnitt zweier Mengen, möchte man nur ihre Schnittmenge betrachten (`A\capB`, „`A` und `B`“). Bei einer Vereinigung werden beide Mengen genutzt (`A\cupB`, „`A` oder `B`“). Bei einer Differenz wird nur der Teil der einen Menge berücksichtigt, der nicht in der anderen Menge enthalten ist (`A`\`B`, „`A` ohne `B`“). Eine weitere Möglichkeit besteht schließlich in einer symmetrischen Differenz (exklusives Oder) - die gesuchten Elemente liegen dann in A oder in B, aber nicht in deren Schnittmenge (`A\triangleB`).

Intervalle

Dabei unterscheidet man, ob die untere und obere Grenze im Intervall enthalten ist oder nicht. Bei der mathematischen Schreibweise von Intervallen kann man das an der Form der Klammern ablesen. Wenn die Klammer vor der unteren Grenze beziehungsweise nach der oberen Grenze eckig ist, ist die jeweilige Grenze im Intervall enthalten. Ist die Klammer rund, ist die Grenze nicht im Intervall enthalten:

Geschlossenes Intervall: `[a,b]={x\inmathbb{R}|a\lex\leb}`
Offenes Intervall: `(a,b)={x\inmathbb{R}|a < x < b}`

Diese beiden Grundtypen kann man auch kombinieren:

Links halboffenes Intervall: `(a,b]={x\inmathbb{R}|a < x\leb}`
Rechts halboffenes Intervall: `[a,b)={x\inmathbb{R}|a\lex < b}`

Soll das Intervall nicht mit einem bestimmten Wert enden, sondern alle Zahlen größer/kleiner einem bestimmten Wert enthalten, handelt es sich um ein nach oben/unten unbeschränktes Intervall:

Geschlossene Variante:

Nach oben unbeschränktes Intervall: `[a,\infty)={x\inmathbb{R}|a\lex}`
Nach unten unbeschränktes Intervall: `(-infty,b]={ x\inmathbb{R}|x\leb}`

Offene Variante:

Nach oben unbeschränktes Intervall: `(a,\infty)={x\inmathbb{R}|a < x}`
Nach unten unbeschränktes Intervall: `(-\infty,b)={x\inmathbb{R}|x < b}`

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