Logarithmus und Logarithmusfunktion

Definition

Der Logarithmus ist ein mathematischer Ausdruck, der bei der Beantwortung der Fragestellung „Mit was muss ich a potenzieren, um b zu erhalten?“ nötig ist. Allgemein lässt sich dieser aus der dargestellten Fragestellung folgendermaßen ableiten:

`a^x=bleftrightarrowx=log_ab`

Dabei ist `a` die Basis des Logarithmus, `b` der Numerus und `x` der Logarithmuswert.


Auch Gleichungen von Exponentialfunktionen lassen sich mithilfe des Logarithmus lösen:

`f(x)=y=a^xleftrightarrowx=log_ay`

Den Logarithmus zur Basis 10 schreibt man generell als `log_x` (ohne Basis). Im Fall der natürlichen Exponentialfunktion (e-Funktion) wird der Logarithmus ebenfalls vereinfacht geschrieben. Statt `log_e x` schreibt man dann `ln x` (Logarithmus naturalis). Die Zusammenhänge bleiben gleich:

`(x)=e^xleftrightarrowx=log_ey=lny`

Nachdem nun die Zusammenhänge des Logarithmus geklärt sind, wird im Folgenden die Logarithmusfunktion eingeführt.

Definition

Die Logarithmusfunktion stellt die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion dar.


Die Exponentialfunktion wird also an der Winkelhalbierenden gespiegelt, um die Logarithmusfunktion zu erhalten:

logarithmusfunktion

Bezogen auf die Exponentialfunktion `f(x)=a^x` ist die Umkehrfunktion dementsprechend zu bezeichnen als

`g(x)=f^-1(x)=log_ax`

Wichtig ist dabei, dass man die Umkehrfunktion nicht als `f(x)` bezeichnet, sondern entweder als `f^-1(x)` (sprich: „f oben -1“) oder als `g(x)`, um eine Unterscheidung zur Exponentialfunktion zu ermöglichen.



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