Lagrange (Optimierung unter Nebenbedingungen)

Definition

Der Lagrange-Ansatz ist ein allgemein geltender Ansatz zum Lösen von Optimierungsproblemen mehrdimensionaler Funktionen unter Nebenbedingungen.


Der Lagrange-Ansatz kommt oft in der Mikroökonomie zum Einsatz, wenn z.B. berechnet werden soll, wieviele Güter `x` und `y` ein Verbraucher konsumieren wird, um daraus den maximalen Nutzen zu ziehen, wenn sein Budget beschränkt ist. Ein anderes typisches Anwendungsgebiet ist die Optimierung der Produktionsfunktion eines Unternehmens bei beschränktem Budget.

Merke

Der Lagrange-Ansatz besteht aus drei Schritten:

1. Die Lagrange-Funktion aufstellen
2. Bedingungen erster Ordnung aufstellen (Gleichungssystem)
3. Gleichungssystem lösen


Diese Schritte werden im Folgenden erklärt.

1. Die Lagrange-Funktion aufstellen:

`\mathcal{L}(x,y)=f(x,y)-\lambda(g(x,y)-c)`

Die Nebenbedingungen wird also zunächst zur Null aufgelöst (entweder `g(x,y) -c = 0` oder `c-g(x,y)=0`) und zusammen mit der zu optimierenden Funktion in die Lagrange-Funktion eingesetzt. Der Parameter `\lambda` gibt dabei den Schattenpreis an (dazu unten mehr). In den nächsten Schritten wird dann das Optimum (meistens das Maximum) der Lagrange-Funktion gesucht.

2. Bedingungen erster Ordnung aufstellen (Gleichungssystem):

I `frac{del\mathcal{L}(x,y)}{del x} = 0`
II `frac{del\mathcal{L}(x,y)}{del y} = 0`
III `frac{del\mathcal{L}(x,y)}{del \lambda} = 0``hArr``g (x,y) = c`

Die Lagrange-Funktion wird also partiell nach `x`,`y` und `\lambda` abgeleitet und die Ableitungen jeweils gleich Null gesetzt. Die Gleichung der Ableitung nach `\lambda` (Gleichung III) lässt sich dabei wieder zur Nebenbedingung umformen.


3. Gleichungssystem lösen

Durch das Lösen des Gleichungssystems erhält man dann die optimalen Werte für `x`*, `y`* und den Schattenpreis `\lambda`*. Im Allgemeinen kann man dabei immer gleich vorgehen:

a) Gleichungen I und II jeweils nach `\lambda` auflösen und dann gleichsetzen.
b) Die Gleichung aus a) nach `x` oder `y` auflösen.
c) Die berechnete Gleichung für `x` oder `y` aus b) in Gleichung III einsetzen. Damit kann nun die andere Variable (`y` oder `x`) berechnet werden.
d) Durch Einsetzen der berechneten Variable in die Gleichung aus b) kann nun die andere Variable bestimmt werden. Setzt man Beide in eine der Gleichungen aus a) ein, kann man auch `\lambda` berechnen.
e) Für den optimalen Funktionswert setzt man nun `x`* und `y`* in die Funktion `f(x,y)` ein.

Der Lagrange-Ansatz liefert also die optimalen Werte einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen, die unter einer Nebenbedingung optimiert werden soll.

Zusätzlich erhält man den Schattenpreis `\lambda^\ast`. Der Schattenpreis gibt an, um wie viel der optimale Wert ` f(x^\ast,y^\ast)` steigt, wenn die Nebenbedingung um eine Einheit gelockert wird (`crightarrow c+1`, bei einer Budgetrestriktion steht also `1€` mehr zur Verfügung). Der Wert des Schattenpreises ist dabei allerdings nur näherungsweise genau.



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