Regel von L'Hospital

Wenn man bei der Berechnung des Grenzwerts einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen auf die Ausdrücke `\frac(0)(0)` oder `\frac(\pminfty)(\pminfty)` stößt, ist zuerst einmal nicht ersichtlich, gegen welchen Genzwert die Funktion strebt. In diesem Fall ist relevant, ob sich der Zähler oder der Nenner des Bruchs "schneller" entwickelt und damit im Unendlichen "überwiegt". In diesen Fällen kann die Regel von L'Hospital (auch L'Hôpital geschrieben) angewendet werden, um den Grenzwert zu bestimmen:

Je nach Funktion kann ein mehrfaches Anwenden der L’Hospital’schen Regel notwendig sein. Zur Veranschaulichung der L’Hospitalschen Regel:

`\lim_(x rightarrow+infty)f(x)=\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+x)(x^2)=` "`\frac(infty+infty)(infty)`" `=` "`\frac(infty)(infty)`" `=? rightarrow ` erneute Anwendung nötig.

`\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+x)(x^2)=\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+1)(2x)=` "`\frac(infty+1)(infty)`" `=` "`\frac(infty)(infty)`" `=\ ? rightarrow ` erneute Anwendung nötig.

`\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+x)(x^2)=\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+1)(2x)=\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x)(2)=` "`\frac(infty)(2)`" `=infty rightarrow\lim_(x rightarrow+infty)f(x)=infty`

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