Regel von L'Hospital

Wenn man bei der Berechnung des Grenzwerts einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen auf die Ausdrücke `\frac(0)(0)` oder `\frac(\pminfty)(\pminfty)` stößt, ist zuerst einmal nicht ersichtlich, gegen welchen Genzwert die Funktion strebt. In diesem Fall ist relevant, ob sich der Zähler oder der Nenner des Bruchs "schneller" entwickelt und damit im Unendlichen "überwiegt". In diesen Fällen kann die Regel von L'Hospital (auch L'Hôpital geschrieben) angewendet werden, um den Grenzwert zu bestimmen:

Formel

Regel von L'Hospital:

`\lim_(x rightarrow\pminfty)\frac(f(x))(g(x))=\lim_(x rightarrow\pminfty)\frac(f^\prime(x))(g^\prime(x))=\lim_(x rightarrow\pminfty)\frac(f^(\prime\prime)(x))(g^(\prime\prime)(x))=\ldots`


Je nach Funktion kann ein mehrfaches Anwenden der L’Hospital’schen Regel notwendig sein. Zur Veranschaulichung der L’Hospitalschen Regel:

`\lim_(x rightarrow+infty)f(x)=\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+x)(x^2)=` "`\frac(infty+infty)(infty)`" `=` "`\frac(infty)(infty)`" `=? rightarrow ` erneute Anwendung nötig.

`\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+x)(x^2)=\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+1)(2x)=` "`\frac(infty+1)(infty)`" `=` "`\frac(infty)(infty)`" `=\ ? rightarrow ` erneute Anwendung nötig.

`\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+x)(x^2)=\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x+1)(2x)=\lim_(x rightarrow+infty)\frac(e^x)(2)=` "`\frac(infty)(2)`" `=infty rightarrow\lim_(x rightarrow+infty)f(x)=infty`

Merke

Das Rechnen mit Unendlich (z.B. "`\frac(infty)(2)`") ist eigentlich nicht erlaubt. Diese Schreibweise dient hier lediglich der Darstellung und Veranschaulichung des Rechenweges. Deswegen sind die entsprechenden Rechenschritte in Anführungszeichen gesetzt. Selbstverständlich lässt sich die Rechnung außerdem durch Einsetzen sehr hoher Zahlen in die Funktion überprüfen.




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