Kurvendiskussion

Nullstellen

Die Berechnung von Nullstellen ist ein essentieller Bestandteil der Kurvendiskussion. Unter dem Begriff Nullstellen versteht man Stellen, an denen der Graph einer Funktion die `x`-Achse schneidet, oder, anders ausgedrückt, an denen der Funktionswert gleich Null ist. Um diese Stellen zu erhalten, muss man also `f(x)` gleich Null setzen und den Term nach `x` auflösen. Je nachdem, welche Form die Funktion `f(x)` hat, gibt es keine, eine oder mehrere Nullstellen. Auch muss man bei verschiedenen Funktionstypen unterschiedlich verfahren, um den Term aufzulösen. Die Methoden, die zur Berechnung der Nullstellen von verschiedenen Funktionsarten angewandt werden, sind ausführlich im Kapitel Nullstellen beschrieben.

Differentialrechnung

Die Differentialrechnung ist ein für viele Themen der Kurvendiskussion entscheidendes Gebiet. Bei der Differentialrechnung geht es um die lokalen Veränderungen von Funktionen, welche durch die Ableitung beschrieben werden. Die lokale Veränderung ist dabei gegeben durch die Steigung einer Funktion ` f(x)` in einem Punkt. Bei einer Linearen Funktion ist diese Steigung konstant (`m`), bei anderen Funktionen ändert sich diese im Verlauf des Graphen.

Die Idee hinter einer Ableitung ist, dass an jeden Punkt des Graphen eine Gerade angelegt wird (=Tangente). Diese Tangenten haben jeweils dieselbe Steigung wie die Funktion in diesem Berührpunkt. Würde man jetzt unendlich viele Tangenten an die Funktion anlegen und die jeweilige Steigung in ein Koordinatensystem eintragen, erhält man die allgemeine Ableitungsfunktion ` f\prime(x)`. Dieses Konzept wird in der folgenden Grafik verdeutlicht:

Formal leitet sich die Ableitung daraus her, dass man die Steigung zwischen zwei Punkten berechnen möchte, wobei der Abstand `h` zwischen diesen Punkten gegen Null konvergiert:

` f\prime(x)=lim_(hrightarrow0)\frac(f(x+h)-f(x))(h)`

Dabei heißt `\frac(f(x+h)-f(x))(h)` Differenzenquotient und ` f\prime(x)` Differentialquotient. Die Ableitung lässt sich auch schreiben als:

`f\prime(x)=\frac(dy)(dx)=\frac(df(x))(dx)`,

wobei das `dx` im Nenner angibt, nach welcher Variablen differenziert werden soll. Die Ableitung wird zum Beispiel besonders dann wichtig, wenn man Extrema berechnen will.

Auch von der Ableitung ` f\prime(x)` kann eine Ableitung gebildet werden, die mit ` f\prime\prime(x)` bezeichnet wird. Diese zweite Ableitung ` f\prime\prime(x)` stellt die „Steigung der Steigung“ der Funktion ` f(x)` dar, bzw. die Steigung der Ableitung ` f\prime(x)`. Außerdem gibt die zweite Ableitung `f\prime\prime(x)` Informationen über das Krümmungsverhalten der Funktion (Links- oder Rechts-Kurve). Das Krümmungsverhalten ist zum Beispiel dann relevant, wenn man die Wendepunkte einer Funktion bestimmen will.

Wie du vorgehen musst, um die erste, zweite und jede weitere Ableitung einer Funktion zu bilden, erfährst du im Kapitel Ableitungsregeln.

Monotonieverhalten

Das Monotonieverhalten ist eine erste Anwendung der Ableitung und gibt an, ob die Funktion in einem Bereich durchgehend steigt (auch: wächst) oder fällt. Wie genau man die Monotonie einer Funktion untersucht und klassifiziert, kannst du im Kapitel Monotonieverhalten nachlesen.

Krümmungsverhalten

Wenn das Krümmungsverhalten einer Funktion betrachtet wird, stellt sich die Frage, ob die Funktion in einem bestimmten Bereich nach rechts gekrümmt (konkav) oder nach links gekrümmt (konvex) ist. Mehr dazu, wie man das Krümmungsverhalten von Funktionen untersucht, sowie einen Merksatz, mit dem du die Begriffe konkav und konvex niemals wieder verwechselst, findest du im Kapitel Krümmungsverhalten.

Extrempunkte

Neben dem Monotonie- und Krümmungsverhalten interessiert man sich in den Wirtschaftswissenschaften häufig auch für stationäre Punkte. Bei Extrempunkten handelt es sich um sogenannte Hoch- und Tiefpunkte, also Punkte, an denen der Funktionswert in einem Teil des Definitionsbereichs (lokale Extrema) oder im ganzen Definitionsbereich (globale Extrema) am höchsten oder niedrigsten ist. Welche Bedingungen für einen Hoch- oder Tiefpunkt gegeben sein müssen und wie man ihn berechnet, ist ausführlich im Kapitel Extrempunkte beschrieben.

Wendepunkte

An einem Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten einer Funktion. Das bedeutet, dass der Graph von einer Links-Kurve (konvex) in eine Rechts-Kurve übergeht (konkav). Eine Beschreibung der Bedingungen, die für einen Wendepunkt gegeben sein müssen und wie man ihn mithilfe der zweiten Ableitung bestimmt, kannst du im Kapitel Wendepunkte nachlesen.

Sattelpunkte

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen Wendepunkt, in dem die Steigung der Funktion Null beträgt. Zum einen muss sich also das Krümmungsverhalten des Graphen ändern, zum anderen muss auch die erste Ableitung gleich Null sein. Wie man einen Punkt auf diese Gegebenheiten überprüft, erfährst du im Kapitel Sattelpunkte.

Zusammenhänge zwischen Funktion und Ableitungen

Beim graphischen Ableiten werden aus Wendestellen Extrempunkte, aus Extrempunkten Nullstellen, aus Sattelpunkten Extrempunkte mit Nullstelle, aus positiven Steigungen positive Werte und aus negativen Steigungen negative Werte.

Zunächst markiert man sich also im Koordinatensystem an den Stellen der Extrempunkte eine Nullstelle.
Anschließend kennzeichnet man die ehemaligen Wendestellen als Hoch- bzw. Tiefpunkte (rechts-links-Kurve ` \ rightarrow \ ` Tiefpunkt, links-rechts-Kurve ` \ rightarrow \ ` Hochpunkt). Bei einem Sattelpunkt werden diese beiden Eigenschaften vereint, je nach Krümmungsrichtung ergibt sich ein Hoch- oder Tiefpunkt, der gleichzeitig eine Nullstelle darstellt. Im letzten Schritt betrachtet man die Steigung. Fällt der Graph der Funktion, befindet sich die Ableitung im negativen Bereich, steigt er an, befindet sich die Ableitung im positiven Bereich. Tabellarisch zusammengefasst bedeutet dies:

Graphisch gesehen ergeben sich also folgende Zusammenhänge:

Grenzwerte

Wenn eine Funktion in einem bestimmten Bereich (z-B. für `x rightarrow \infty`) gegen einen bestimmten Funktionswert strebt, diesen jedoch nicht erreicht, nennt man diesen Wert Grenzwert oder Limes. In der Kurvendiskussion wird der Grenzwert benutzt, um herauszufinden, wie der Graph sich im positiven und negativen Unendlichen und an Funktionssprüngen und Definitionslücken verhält. Wie man die Grenzwerte verschiedener Funktionen bestimmt, kannst du im Artikel zum Grenzwert nachlesen.

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