Krümmungsverhalten: Konvexe und konkave Funktionen

Kankavität und Konvexität lassen sich am besten durch eine von oben betrachtete Straße erklären, die als Graph dargestellt wird (siehe Abbildung). Fährt ein Auto diese Straße entlang und lenkt nach rechts, ist die zugrundeliegende Funktion konkav (in der Abbildung Bereich B und E). Lenkt der Fahrer nach links, ist die Funktion konvex (Bereich A, D und F). Wie bei der Monotonie gibt es auch hier eine Unterscheidung zwischen strenger und nicht-strenger Konvexität bzw. Konkavität. Fährt der Fahrer also geradeaus, ist die Funktion konvex und konkav, aber nicht streng konvex und nicht streng konkav (Bereich C).

Betrachtet man die Funktion nun, erkennt man, dass zum Beispiel bei Konvexität (Linkskurve) die Steigung des Graphen zunimmt, also immer größer bzw. positiver wird. Das heißt, wenn die Steigung im betrachteten Bereich schon positiv ist, wird sie immer steiler; Wenn die Steigung in dem Bereich negativ ist, wird sie immer flacher und weniger negativ, dann Null, und dann positiv. Man sieht also, dass die 1. Ableitung - also die Steigung der Funktion - für die Krümmung nicht entscheidend ist. Entscheidend ist die Steigung der 1. Ableitung. Wenn eine Funktion in einem Bereich konvex (Linkskurve) ist, hat die 1. Ableitung eine positive Steigung:

Ist eine Funktion in einem bestimmten Bereich hingegen konkav (Rechtskurve) wird die Steigung immer kleiner bzw. negativer. Ist die Steigung des Graphen also positiv, wird der Graph immer flacher bis er fällt. Ist die Steigung des Graphen negativ, wird der Graph immer steiler. Die erste Ableitung hat also eine negative Steigung:

Um also herauszufinden, ob eine Funktion konvex oder konkav ist, muss man wissen, ob die Steigung der ersten Ableitung positiv (Konvexität) oder negativ (Konkavität) ist. Da die Steigung der ersten Ableitung durch die zweite Ableitung beschrieben wird, kann die zweite Ableitung genutzt werden, um das Krümmungsverhalten einer Funktion zu überprüfen.

Das rechnerische Vorgehen zur Bestimmung der Krümmungsrichtung ist identisch zum Vorgehen der Bestimmung des Monotonieverhaltens, nur dass die zweite Ableitung anstelle der ersten genutzt wird.

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