Krümmungsverhalten: Konvexe und konkave Funktionen

Definition

Die Begriffe Konvexität bzw. Konkavität treffen Aussagen über die Krümmungsrichtung einer Funktion. Eine Funktion ist in einem Bereich konkav, wenn sie dort nach rechts gekrümmt ist, und konvex, wenn sie nach links gekrümmt ist.


Kankavität und Konvexität lassen sich am besten durch eine von oben betrachtete Straße erklären, die als Graph dargestellt wird (siehe Abbildung). Fährt ein Auto diese Straße entlang und lenkt nach rechts, ist die zugrundeliegende Funktion konkav (in der Abbildung Bereich B und E). Lenkt der Fahrer nach links, ist die Funktion konvex (Bereich A, D und F). Wie bei der Monotonie gibt es auch hier eine Unterscheidung zwischen strenger und nicht-strenger Konvexität bzw. Konkavität. Fährt der Fahrer also geradeaus, ist die Funktion konvex und konkav, aber nicht streng konvex und nicht streng konkav (Bereich C).

konvexkonkav1

Betrachtet man die Funktion nun, erkennt man, dass zum Beispiel bei Konvexität (Linkskurve) die Steigung des Graphen zunimmt, also immer größer bzw. positiver wird. Das heißt, wenn die Steigung im betrachteten Bereich schon positiv ist, wird sie immer steiler; Wenn die Steigung in dem Bereich negativ ist, wird sie immer flacher und weniger negativ, dann Null, und dann positiv. Man sieht also, dass die 1. Ableitung - also die Steigung der Funktion - für die Krümmung nicht entscheidend ist. Entscheidend ist die Steigung der 1. Ableitung. Wenn eine Funktion in einem Bereich konvex (Linkskurve) ist, hat die 1. Ableitung eine positive Steigung:

konvexitaet

Ist eine Funktion in einem bestimmten Bereich hingegen konkav (Rechtskurve) wird die Steigung immer kleiner bzw. negativer. Ist die Steigung des Graphen also positiv, wird der Graph immer flacher bis er fällt. Ist die Steigung des Graphen negativ, wird der Graph immer steiler. Die erste Ableitung hat also eine negative Steigung:

konkavitaet

Um also herauszufinden, ob eine Funktion konvex oder konkav ist, muss man wissen, ob die Steigung der ersten Ableitung positiv (Konvexität) oder negativ (Konkavität) ist. Da die Steigung der ersten Ableitung durch die zweite Ableitung beschrieben wird, kann die zweite Ableitung genutzt werden, um das Krümmungsverhalten einer Funktion zu überprüfen.

Merke

Formal lässt sich das Krümmungsverhalten einer Funktion folgendermaßen kategorisieren:

` f\prime\prime(x)>0 \ \ \ \rightarrow ` streng konvex

` f\prime\prime(x)<0 \ \ \ \rightarrow` streng konkav

` f\prime\prime(x)\geq0 \ \ \ \ rightarrow ` konvex

` f\prime\prime(x)\le0 \ \ \ \rightarrow ` konkav

` f\prime\prime(x)=0 \ \ \ \ rightarrow ` konvex und konkav


Das rechnerische Vorgehen zur Bestimmung der Krümmungsrichtung ist identisch zum Vorgehen der Bestimmung des Monotonieverhaltens, nur dass die zweite Ableitung anstelle der ersten genutzt wird.

Merke

Als Merkhilfe für Konvexität und Konkavität kann man (unter anderem) folgenden Spruch nutzen: „Konkav ist der Rücken vom Schaf, konvex ist der Bauch vom T-Rex.“


konvexkonkav2

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