Ableitungsregeln: Kettenregel

Beim Ableiten einer Funktion, deren Term aus mehreren Teilfunktionen besteht, ist es ratsam, diese Teilfunktionen zunächst zu identifizieren:

`f(x)=g(x) \pm h(x) \ rightarrow`Die Funktion `f(x)` besteht aus den Teilfunktionen `g(x)` und `h(x)`

Definition

Wenn die Teilfunktionen nicht durch `+` oder `-` verbunden sind, sondern verkettet vorliegen, wendet man die Kettenregel an:

` f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=g\prime(h(x))* h\prime(x)`


Die Kettenregel ist vor allem bei der Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion wichtig, aber auch bei verschachtelten Klammern und Wurzeln. Wichtig ist, dass bei der Ableitung der äußeren Funktion die innere Funktion wieder unverändert eingesetzt wird.

Beispielsweise wird die Ableitung einer verketteten e-Funktion mithilfe der Kettenregel gebildet. Immer dann, wenn im Exponenten nicht nur `x` steht, ist dies nötig:

` f(x)=e^(g(x)) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=e^(g(x))* g\prime(x)`

Wird eine Logarithmus- bzw. `ln`-Funktion mit einer anderen Funktion verkettet, muss ebenfalls die Kettenregel angewendet werden:

` f(x)=\ln(g(x)) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=\frac(1)(g(x))* g\prime(x)`

Auch bei Klammern kann die Kettenregel von Bedeutung sein:

` f(x)=(g(x))^a \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=a*(g(x))^(a-1)* g\prime(x)`

Da Wurzeln auch zu Potenzen umgeschrieben werden können, gilt die Anwendung der Kettenregel auch bei diesen:

` f(x)=\sqrt[a](g(x))=g(x)^\frac(1)(a) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=\frac(1)(a)*(g(x))^(\frac(1)(a)-1)* g\prime(x)`

Beispiel: Quotientenregel und Kettenregel in Verbindung mit `e`- und `ln`-Funktionen:

`f(x)=\frac(\ln(4x^2))(e^(x^2-3x))`

`u=\ln(4x^2) \ \ \ \ rightarrow u^\prime=\frac(1)(4x^2)*8x=\frac(8x)(4x^2)=\frac(2)(x)`

` v=e^(x^2-3x) \ \ \ \ rightarrow v\prime=e^(x^2-3x)*(2x-3)`

`v^2=(e^(x^2-3x))^2`

`f\prime(x)=\frac(\frac(2)(x)* e^(x^2-3x)-\ln(4x^2)* e^(x^2-3x)*(2x-3))((e^(x^2-3x))^2)`

`=\frac(e^(x^2-3x)*(\frac(2)(x)-\ln(4x^2)*(2x-3)))((e^(x^2-3x))^2)`

`=\frac(\frac(2)(x)-\ln(4x^2)*(2x-3))(e^(x^2-3x))`



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