Integration durch Substitution

Definition

Die Integration durch Substitution ist das Pendant zur Ableitung mit der Kettenregel. Sie wird verwendet, wenn kompliziertere - zum Beispiel verkettete - Funktionen integriert werden sollen.


Das Vorgehen bei der Integration durch Substitution soll im Folgenden anhand der Funktion ` f(x)=e^(3x+4)` vorgestellt werden.

Die e-Funktion an sich wäre sehr einfach zu integrieren (`\inte^xdx=e^x`). Störend ist hier allerdings der Exponent von `3x+4`, weshalb dieser substituiert werden soll.

` \ \ \ \ `1. Vorbereitung:

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `a. Substiuieren: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `z=3x+4`

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `b. Ableiten: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `frac(dz)(dx)=3`

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `c. Umstellen: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `dx=frac(dz)(3)`

` \ \ \ \ `2. Substituieren im Integral: ` \ \ \ \ `` F(x)=\inte^(3x^2+4)dx=\inte^z\frac(dz)(3)`

` \ \ \ \ `3. Integral lösen: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ ` `\inte^z\frac(dz)(3)=\frac(1)(3)\cdot\inte^zdz=\frac(1)(3)e^z+c`

` \ \ \ \ `4. Resubstituieren: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ ``=\frac(1)(3)e^(3x+4)+c=F(x)`

Die Integration durch Substitution ist auch dann hilfreich, wenn die Funktion gebrochenrational ist, also ein Bruch mit ` x ` im Nenner vorliegt. In diesem Fall wird der Nenner subsituiert:

` f(x)=\frac(1)(3x+4)`

` \ \ \ \ `1. Vorbereitung:

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `a. Substiuieren: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `z=3x+4`

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `b. Ableiten: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `frac(dz)(dx)=3`

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `c. Umstellen: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `dx=frac(dz)(3)`

` \ \ \ \ `2. Substituieren im Integral: ` \ \ \ \ ` `f(x)=\int\frac(1)(3x+4)dx=\int\frac(1)(z)\frac(dz)(3)`

` \ \ \ \ `3. Integral lösen: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ ` `\int\frac(1)(z)\frac(dz)(3)=\frac(1)(3)\cdot\int\frac(1)(z)dz=\frac(1)(3)\ln|z|+c `

` \ \ \ \ `4. Resubstituieren: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ ` `=\frac(1)(3)\ln|3x+4|+c=F(x)`



zurück zur Übersicht

Wie geht es nun weiter?

Du hast viel Neues gelernt oder bereits Erlerntes aufgefrischt.
Nun wollen wir dir mehr bieten und dich noch intensiver unterstützen, damit du deine Ziele erreichst.

Unser Angebot an Crashkursen und Klausurtrainingsinhalten ist genau dafür da.

Finde den passenden Crashkurs für deine Uni: