Integration durch Substitution

Definition

Die Integration durch Substitution ist das Pendant zur Ableitung mit der Kettenregel. Sie wird verwendet, wenn kompliziertere - zum Beispiel verkettete - Funktionen integriert werden sollen.


Das Vorgehen bei der Integration durch Substitution soll im Folgenden anhand der Funktion ` f(x)=e^(3x+4)` vorgestellt werden.

Die e-Funktion an sich wäre sehr einfach zu integrieren (`\inte^xdx=e^x`). Störend ist hier allerdings der Exponent von `3x+4`, weshalb dieser substituiert werden soll.

` \ \ \ \ `1. Vorbereitung:

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `a. Substiuieren: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `z=3x+4`

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `b. Ableiten: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `frac(dz)(dx)=3`

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `c. Umstellen: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `dx=frac(dz)(3)`

` \ \ \ \ `2. Substituieren im Integral: ` \ \ \ \ `` F(x)=\inte^(3x^2+4)dx=\inte^z\frac(dz)(3)`

` \ \ \ \ `3. Integral lösen: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ ` `\inte^z\frac(dz)(3)=\frac(1)(3)\cdot\inte^zdz=\frac(1)(3)e^z+c`

` \ \ \ \ `4. Resubstituieren: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ ``=\frac(1)(3)e^(3x+4)+c=F(x)`

Die Integration durch Substitution ist auch dann hilfreich, wenn die Funktion gebrochenrational ist, also ein Bruch mit ` x ` im Nenner vorliegt. In diesem Fall wird der Nenner subsituiert:

` f(x)=\frac(1)(3x+4)`

` \ \ \ \ `1. Vorbereitung:

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `a. Substiuieren: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `z=3x+4`

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `b. Ableiten: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `frac(dz)(dx)=3`

` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `c. Umstellen: ` \ \ \ \ ` ` \ \ \ \ ` `dx=frac(dz)(3)`

` \ \ \ \ `2. Substituieren im Integral: ` \ \ \ \ ` `f(x)=\int\frac(1)(3x+4)dx=\int\frac(1)(z)\frac(dz)(3)`

` \ \ \ \ `3. Integral lösen: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ ` `\int\frac(1)(z)\frac(dz)(3)=\frac(1)(3)\cdot\int\frac(1)(z)dz=\frac(1)(3)\ln|z|+c `

` \ \ \ \ `4. Resubstituieren: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ ` `=\frac(1)(3)\ln|3x+4|+c=F(x)`



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