Integralrechnung

Definition

Die Integralrechnung ist sozusagen das Gegenteil der Differentialrechnung. Statt einer Ableitung berechnet man eine Stammfunktion. Dabei wird die Vorgehensweise des Ableitens umgekehrt. Die Funktion ` f(x)` stellt also die Steigung bzw. die Ableitung der Stammfunktion ` F(x)` dar.


Die Interpretation der Stammfunktion selbst wird später erläutert, zuvor wird die Berechnung der Stammfunktion geklärt.

Zu beachten ist, dass eine Funktion ` f(x)` nur eine Ableitung ` f\prime(x)`, aber mehrere Stammfunktionen `F(x)` hat. Dies liegt daran, dass die Stammfunktion eine beliebige Konstante enthalten kann. Beim Ableiten der Stammfunktion würde diese wegfallen, weshalb unendliche viele Stammfunktionen sich eine gemeinsame (normale) Funktion teilen. Der Stammfunktion wird daher allgemein ein `+c ` hinzugefügt, um das Problem der unbestimmten Konstante zu umgehen.

Die Integration wird formal folgendermaßen dargestellt:

`\intf(x)dx=F(x)+c`,

wobei das ` dx ` angibt, nach welcher Variablen integriert werden soll. Dies ist im Falle zweidimensionaler Funktionen zwar irrelevant, sobald es mehrere erklärende Variablen gibt, ist es aber wichtig zu wissen, nach welcher Variablen integriert wird. Ein weiterer Vorteil dieser Schreibweise ist, dass durch das ` dx ` eindeutig ist, an welcher Stelle einer Gleichung das Integral beendet ist.

Anleitung zum Integrieren

Wie beim Ableiten gibt es auch beim Integrieren diverse Regeln, die im Folgenden erläutert werden.

Potenzregel

Die Potenzregel dient dem Integrieren einfacher Ausdrücke der Form `ax^n`. Der Exponent wird dabei um `1` erhöht (Erinnerung: Beim Ableiten wird der Exponent um `1` verringert) und der Parameter ` a ` vor dem ` x ` wird in dieser Form angepasst:

Funktion: `f(x)=ax^n `

Stammfunktion: `F(x)=``\intax^ndx=\frac(a)(n+1)x^(n+1)+c `

Diese Anpassung kann man am besten verstehen, wenn man zunächst den Exponenten erhöht (`n+1`) und sich überlegt, welche Auswirkungen dieser beim Ableiten hätte: Der Parameter würde dann mit dem neuen Exponenten multipliziert werden (`a\cdot(n+1)`). Man möchte aber nicht dieses Produkt erhalten, sondern lediglich den Parameter ` a `. Daher wird beim integrieren der Parameter durch den neuen Exponenten geteilt. Würde man diesen Ausdruck ableiten, würde sich das (`n+1`) mit dem (`n+1`) im Nenner wegkürzen.

Anschließend kann man sich vergewissern, dass man wirklich die Stammfunktion erhalten hat, indem man sie ableitet. Kommt hier die ursprüngliche Funktion heraus, hat man alles richtig gemacht:

` F\prime(x)=(n+1)\cdot\frac(a)(n+1)x^(n+1-1)=ax^n=f(x)`

Faktorregel

Steht ein Faktor vor dem ` x `, so kann dieser vor das Integral gezogen werden. Aufgrund des Kommutativgesetzes wird dieser nach dem Integrieren wieder korrekt eingefügt. Statt der Potenzregel wie zuvor hätte man also auch rechnen können:

Funktion: `f(x)=ax^n `

Stammfunktion:` \ \ \ \ F(x)=\intax^ndx=a\cdot\intx^ndx=a\cdot\frac(1)(n+1)x^(n+1)+c=\frac(a)(n+1)x^(n+1)+c `

Das kann folgendermaßen verallgemeinert werden:

Funktion: ` f(x)=a\cdot g(x)`

Stammfunktion: ` F(x)=\inta\cdotg(x)dx=a\cdot\intg(x)dx `

Summenregel

Ähnlich wie beim Ableiten kann man die Funktion auch beim Integrieren aufteilen, wenn eine Summe oder Differenz vorliegt. Die einzelnen Terme werden dann einzeln integriert und anschließend wieder zusammengesetzt:

Funktion: ` f(x)=g(x)\pm h(x)`

Stammfunktion: ` F(x)=\intg(x)\pm h(x)dx =\int g(x)dx\pm\int h(x)dx `</p>

Logarithmusfunktion integrieren

Einen Sonderfall stellt die Funktion ` f(x)=\frac(1)(x)` dar. Wie bereits gelernt, ist `frac(1)(x)` die Ableitung der Logarithmusfunktion` g(x)=\ln(x)`. Somit würde naheliegen, dass die Stammfunktion von `frac(1)(x)` die Funktion `ln(x)` ist. Da ` f(x)=\frac(1)(x)` jedoch auch im Negativen definiert ist, `ln(x)` aber nur im Positiven, ist `ln(x)` als Stammfunktion nicht ausreichend. Stattdessen ist die Stammfunktion von `f(x)=frac(1)(x)` folgende:

` F(x)=\ln|x|+c `

Durch den Betrag haben Funktion und Stammfunktion denselben Definitionsbereich.

Komplexere Funktionen integrieren

Sollten die vorliegenden Integrale nicht mittels der vorgestellten Regeln lösbar sein, gibt es noch zwei komplexere Verfahren, die im Folgenden behandelt werden: partielle Integration und Integration durch Substitution.

Partielle Integration

Liegt eine Funktion als Produkt vor, so leitet man diese mithilfe der Produktregel ab. Beim Integrieren nennt sich dies partielle Integration. Die partielle Integration folgt einer bestimmten Formel, die sich allgemein schreiben lässt als:

Funktion: ` f(x)=g\prime(x)h(x)`

Stammfunktion: ` F(x)=\intg\prime(x)h(x)dx =g(x)h(x)-\intg(x)h\prime(x)dx`

Wie man anhand dieser Formel eine Funktion integriert, kannst du im Kapitel Partielle Integration nachschlagen. Dort wird die partielle Integration anhand eines Beispiels veranschaulicht.

Integration durch Substitution

Wenn beim Ableiten die Kettenregel angewendet wird, wird beim Integrieren die Integration durch Substitution genutzt. Bei dieser wird ein bestimmter Teil des zu integrierenden Terms substituiert, also durch einen Platzhalter ersetzt. Eine Schritt-für-Schritt Anleitung, sowie zwei Beispiele dazu findest du im Artikel zur Integration durch Substitution.

Bestimmtes Integral

Wie zu Beginn des Kapitels angemerkt, beschreibt die Funktion `f(x)` die Ableitung bzw. Steigung der Stammfunktion `F(x)`. Da diese Interpretation recht sperrig und unpraktisch ist, wird nun die Stammfunktion selbst interpretiert:

Definition

Die Stammfunktion gibt an, wie groß die Fläche zwischen Funktion und ` x `-Achse ist.


Genauer gesagt, kann man mit der Stammfunktion diese Fläche zwischen zwei ` x ` -Werten, also in einem Intervall, berechnen. Dabei gibt es eine untere (`a`) und eine obere (`b`) Grenze, die an das Integralzeichen geschrieben werden:

`\int_(a)^(b)f(x)dx`

Dieser Ausdruck nennt sich dann bestimmtes Integral. Dahingegen ist das unbestimmte Integral die Gesamtheit aller Stammfunktionen, also:

`\intf(x)dx=F(x)+c`

Beim bestimmten Integral geht es also um die Berechnung von Flächen zwischen der Funktion und der x-Achse. Diese erhält man, wenn man die obere und untere Grenze des Intervalls in die Stammfunktion einsetzt und die Ergebnisse voneinander subtrahiert:

`\int_(a)^(b)f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a) `

Hierbei ist es nicht nötig, der Stammfunktion ein `+c ` hinzuzufügen. Beim Einsetzen der oberen Grenze würde dieses addiert werden, nach subtrahieren des Ergebnis der unteren Grenze gleicht sich dieses aber zu ` c-c=\pm0` aus.

Graphisch gesehen wurde mithilfe des bestimmten Integrals die Größe der schraffierten Fläche berechnet:

bestimmtes_integral1

Bestimmtes Integral vs. Fläche

Während bisher die Ausdrücke bestimmtes Integral und Fläche synonym verwendet wurden, sollen diese Begriffe nun genauer voneinander differenziert werden.

Merke

Der Unterschied zwischen einer Fläche und dem bestimmten Integral ist, dass das bestimmte Integral negative Werte annehmen kann, während eine Fläche immer positiv ist.


So ist das bestimmte Integral in der folgenden Grafik negativ, die Fläche ist aber positiv:

bestimmtes_integral2

Deswegen ist es wichtig, die Aufgabenstellung richtig zu lesen und zu bearbeiten. Falls die Aufgabe nach dem Wert des bestimmten Integrals fragt, ist diese ohne weitere Rücksichtnahme berechenbar. Falls nach der Fläche gefragt wird, ist eine Fallunterscheidung nötig. Drei Fälle sind dabei möglich:

Merke

Berechnung von Flächen mithilfe des Integrals:

1. Der Graph liegt im Intervall komplett oberhalb der ` x ` -Achse: Die Ergebnisse von Fläche und bestimmtem Integral sind gleich

`rightarrow ` Fläche = Bestimmtes Integral.

2. Der Graph liegt im Intervall komplett unterhalb der `x`-Achse: Die Fläche ist so groß, wie der Betrag des bestimmten Integrals

`rightarrow ` Fläche = |Bestimmtes Integral|

3. Der Graph verläuft im betrachteten Intervall sowohl oberhalb als auch unterhalb der ` x `-Achse: Das Intervall muss aufgeteilt werden: zur Begrenzung der Teilintervalle dienen die Nullstellen. Anschließend kann abschnittsweise integriert werden, wobei die einzelnen Integrale im Betrag betrachtet werden, um „negative Flächen“ in positive umzuwandeln. Wenn also zum Beispiel die Fläche zwischen der `x`-Achse und einem Graphen im Bereich `[a;c]` berechnet werden soll und der Graph eine Nullstelle bei b hat, sollte die Fläche folgendermaßen ermittelt werden:

`rightarrow ` Fläche [`a;c`]=`|\int_(a)^(b)f(x)dx|+|\int_(b)^(c)f(x)dx|`


Der Graph könnte in Fall 3 beispielsweise so aussehen:

bestimmtes_integral3

Eine Funktion kann natürlich auch mehrere Nullstellen haben, wie der zweite Graph in der Abbildung zeigt. Auch in diesem Fall muss zur Berechnung der Fläche von Nullstelle zu Nullstelle integriert werden und die einzelnen Integrale im Betrag geschrieben werden:

`\Fläche[a;c]=|\int_(a)^(b)f(x)dx|+|\int_(b)^(c)f(x)dx|+|\int_(c)^(d)f(x)dx|`

Dabei ist es unerheblich, in welchem Bereich der Graph über bzw. unter der `x`-Achse verläuft. Wenn du immer den Betrag nutzt, bist du auf jeden Fall auf der sicheren Seite.

Sonderfall: Uneigentliches Integral

Manchmal ist es von Interesse, den Flächeninhalt zwischen Funktion und ` x ` -Achse nicht nur in einem Intervall zu bestimmen, sondern über den kompletten Definitionsbereich oder zu einer Seite hin unbegrenzt zu betrachten. Eine oder beide Grenzen des bestimmten Integrals lautet dann `\pm\infty `. Man möchte also einen der folgenden drei Fälle lösen:

`\int_(a)^(\infty)f(x)dx,\ \int_(-\infty)^(b)f(x)dx\ ` oder ` \int_(-\infty)^(\infty)f(x)dx`

Diese Fälle löst man mittels eines Grenzwertes:

`\int_(a)^(\infty)f(x)dx=\lim_(brightarrow\infty)\int_(a)^(b)f(x)dx`

`\int_(-\infty)^(b)f(x)dx=\lim_(arightarrow-\infty)\int_(a)^(b)f(x)dx`

`\int_(-\infty)^(\infty)f(x)dx=\lim_(arightarrow-\infty)\lim_(brightarrow\infty)\int_(a)^(b)f(x)dx`

Nach dem Umschreiben kann man das Integral allgemein berechnen (Stammfunktion aufstellen, ` a ` und ` b ` einsetzen, vereinfachen) und den Grenzwert bestimmen.

Zur Verdeutlichung dieses Prinzips wird im Folgenden die Funktion ` f(x)=e^x ` im negativen Bereich betrachtet. Es ist also die schraffierte Fläche in der folgenden Grafik gesucht:

uneigentliches_integral

Diese Fläche wird folgendermaßen berechnet:

`\int_(-\infty)^(0)e^xdx`

`=\lim_(arightarrow-\infty)\int_(a)^(0)e^xdx`

`=\lim_(arightarrow-\infty)[e^x]_a^0`

`=\lim_(arightarrow-\infty)(e^0-e^a)`

`=\lim_(arightarrow-\infty)(1-e^a)=1-0=1.`

Der Flächeninhalt zwischen ` e ` -Funktion und ` x ` -Achse beträgt also im negativen ` x ` -Achsenbereich 1.

Zusammenhänge

Wie auch beim Thema Ableitungen gibt es zwischen Stammfunktion, Funktion und Ableitung Zusammenhänge. Da die Funktion selbst die Ableitung der Stammfunktion ist, verschieben sich die jeweiligen Kriterien nur um ein Level nach oben. Die folgende Tabelle verdeutlicht dies:

tabelle1

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