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Definition
Wie beim Ableiten im zweidimensionalen Raum gibt es auch im mehrdimensionalen Raum Ableitungen zweiter Ordnung. Sammelt man diese partiellen Ableitungen, entsteht eine Matrix, die Hesse-Matrix genannt wird.
Bei zwei erklärenden Variablen lässt sich diese schreiben als
\begin{align*}
H(x,y)=
\left(
\begin{matrix}
f_{xx} & f_{xy} \\
f_{yx}& f_{yy} \\
\end{matrix}
\right)
\end{align*}
Entsprechend funktioniert die Schreibweise bei drei erklärenden Variablen:
\begin{align*}
H(x,y,z)=
\left(
\begin{matrix}
f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\
f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\
f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \\
\end{matrix}
\right)
\end{align*}
Der allgemeine Ausruck für ` n ` Variablen lautet:
\begin{align*}
H(x_1,x_2,\dots,n)=
\left(
\begin{matrix}
f_{11} & f_{12} & \dots & f_{1n} \\
f_{21} & f_{22} & \dots & f_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
f_{n1} & f_{n2} & \dots & f_{nn} \\
\end{matrix}
\right)
\end{align*}
Durch die Tatsache, dass die Reihenfolge des Ableitens egal ist (`f_(xy)=f_(yx)`), ist die Hesse-Matrix immer symmetrisch.
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