Hesse-Matrix

Definition

Wie beim Ableiten im zweidimensionalen Raum gibt es auch im mehrdimensionalen Raum Ableitungen zweiter Ordnung. Sammelt man diese partiellen Ableitungen, entsteht eine Matrix, die Hesse-Matrix genannt wird.


Bei zwei erklärenden Variablen lässt sich diese schreiben als

\begin{align*}
H(x,y)=
\left(
\begin{matrix}

f_{xx} & f_{xy} \\

f_{yx}& f_{yy} \\

\end{matrix}
\right)
\end{align*}

Entsprechend funktioniert die Schreibweise bei drei erklärenden Variablen:

\begin{align*}
H(x,y,z)=
\left(
\begin{matrix}
f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\
f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\
f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \\
\end{matrix}
\right)
\end{align*}

Der allgemeine Ausruck für ` n ` Variablen lautet:

\begin{align*}
H(x_1,x_2,\dots,n)=
\left(
\begin{matrix}
f_{11} & f_{12} & \dots & f_{1n} \\
f_{21} & f_{22} & \dots & f_{2n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
f_{n1} & f_{n2} & \dots & f_{nn} \\
\end{matrix}
\right)
\end{align*}

Durch die Tatsache, dass die Reihenfolge des Ableitens egal ist (`f_(xy)=f_(yx)`), ist die Hesse-Matrix immer symmetrisch.



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