Grenzwert (Limes)

Definition

Ein Grenzwert gibt an, wie sich Funktionen verhalten, wenn man sich einem bestimmten `x`-Wert nähert. Dieser Grenzwert nennt sich auch Limes.


Die Untersuchung des Limes ist für Funktionen mit Sprüngen oder Definitionslücken interessant. Außerdem wird er zur Untersuchung des Verhaltens einer Funktion im Unendlichen verwendet.

Formal wird die Berechnung eines Grenzwertes folgendermaßen ausgedrückt:

`\lim_(x rightarrow a)f(x)=A`,

gesprochen: „Der Limes für ` x ` gegen ` a ` von ` f(x)` ist gleich ` A `.“

Grenzwert an Funktionssprüngen und Definitionslücken

Funktionssprüngen und Definitionslücken kann man sich von links oder rechts nähern, wobei die Grenzwerte jeweils unterschiedlich sind. Ein Funktionssprung liegt dann vor, wenn in der Funktionsvorschrift eine Fallunterscheidung vorliegt. Dies wird gekennzeichnet durch eine Mengenschreibweise, die zum Beispiel so aussehen könnte:\begin{align*}f(x)=\left(\begin{matrix}\dots \ für \ x \leq \ \dots \\\dots \ für \ x > \ \dots \\\end{matrix}\right)\end{align*}Anhand der folgenden Abbildung soll die Schreibweise des Limes bei Funktionssprüngen verdeutlicht werden:

funktionssprung

An der Stelle `a` beträgt der Funktionswert `A` (Dies ist gekennzeichnet durch den ausgefüllten Punkt). Nähert man sich diesem Funktionssprung allerdings von links, so ist der Grenzwert `B`.

Möchte man sich also den Grenzwert der Funktion am Funktionssprung von links berechnen, schreibt man:

`\lim_(x rightarrow a^-)f(x)=B`

Nähert man sich dem Funktionssprung von rechts, verwendet man folgende Schreibweise:

`\lim_(x rightarrow a^+)f(x)=A`

Definitionslücken kann man sich ebenfalls von links und rechts nähern. Die Schreibweise bleibt gleich und man geht im Prinzip genauso vor wie bei Funktionssprüngen:

Näherung von links: `\lim_(x rightarrow a^-)f(x) `

Näherung von rechts: `\lim_(x rightarrow a^+)f(x)`

Sollen die Grenzwerte an Funktionssprüngen oder Definitionslücken angegeben werden, so empfiehlt es sich, einen minimal kleineren und minimal größeren Wert in die Funktionsgleichung einzusetzen, um so den jeweiligen Grenzwert zu bestimmen. Geht es z.B. um die Stelle ` a=5`, so könnte man für den Grenzwert von links kommend `4,999999999` und für den Grenzwert von rechts kommend `5,000000001` einsetzen. Ein genaueres Verfahren zur Berechnung dieser Grenzwerte würde über eine entsprechende Folge funktionieren, die gegen Null konvergiert, z.B. die Folge `\frac(1)(n)`. Diese würde man dann zusammen mit dem ` a` in die Funktion einsetzen und gegen Null laufen lassen (hier indem man `n rightarrowinfty` laufen lässt):

`\lim_(x rightarrow a^-)f(x)=\lim_(n rightarrowinfty)f(a-\frac(1)(n))` bzw.
`\lim_(x rightarrow a^+)f(x)=\lim_(n rightarrowinfty)f(a+\frac(1)(n))`

So erhält man letztlich den gesuchten Grenzwert der Funktion an der Stelle ` a ` von links oder rechts aus kommend.

Grenzwert im Unendlichen

Beim Verhalten im Unendlichen geht es um die Entwicklung des Graphen am linken und rechten Rand. So geht der Funktionswert von ` f(x)=x^3` für `x rightarrow +infty` gegen `+infty` und für ` x rightarrow -infty` gegen `-infty`. Ein Graph kann im Unendlichen aber auch gegen eine Zahl konvergieren. Zum Beispiel läuft der Graph von ` f(x)=\frac(1)(x)` für `x rightarrow +infty` gegen `0` (von oben kommend) und für ` x rightarrow -infty` gegen `0` (von unten kommend).

Um den Grenzwert im Unendlichen zu verdeutlichen, ist es hilfreich, sich an einer Grafik zu orientieren. Der folgende Graph strebt für `x rightarrow -\infty` zum Beispiel gegen `B` und für `x \rightarrow \infty` nähert er sich `A` an:

verhalten_unendlich

Die Schreibweise für die betrachteten Grenzwerte ist ähnlich zur Schreibweise bei Funktionssprüngen und Definitionslücken. Der Grenzwert des Graphen im positiven Unendlichen wird folgendermaßen dargestellt:

`\lim_(x rightarrow+infty)f(x)=A`

Untersucht man den Graphen im negativen Unendlichen, schreibt man:

`\lim_(x rightarrow-infty)f(x)=B`

Das Vorgehen zum Berechnen von Grenzwerten für `x \rightarrow \pm\infty` folgt je nach Art der Funktion verschiedenen Regeln. Unterschieden wird im Folgenden zwischen Funktionen, die nur aus Polynomen bestehen, die Polynome und Terme mit ` e^(g(x))` mischen und Funktionen, die gebrochenrational sind.

Grenzwerte von Funktionen, die nur aus Polynomen bestehen

Im folgenden wird erklärt, wie der Grenzwert einer Funktion berechnet wird, wenn die Funktion nur aus Polynomen besteht. Ein Polynom ist eine Funktion, bei der nur Terme der Form `a_ix^i` addiert oder subtrahiert werden, so wie beispielsweise bei der folgenden Funktion:

`f(x)=4x^3-2x^2+x+7`

Wenn in der Funktion lediglich Polynome vorliegen, ermittelt man zunächst das ` x ` mit dem höchsten Exponenten. Wenn man `x` gegen `+\infty` oder `-\infty` gehen lässt, können andere Bestandteile der Funktion niemals so groß werden wie dieser Term. Deswegen reicht es aus, nur den Term zu betrachten, in dem das `x` mit dem höchsten Exponenten steht. Statt also z.B.

`\lim_(x rightarrow+infty)f(x)=\lim_(x rightarrow+infty)4x^3-2x^2+x+7`

betrachtet man also lediglich

`\lim_(x rightarrow+infty)4x^3=+infty`

Die Funktion ` f(x)=4x^3-2x^2+x+7` verläuft im positven Unendlichen Bereich ins positiv Unendliche.
Genau so kann die Funktion im negativen Bereich betrachtet werden:

`\lim_(x rightarrow-infty)f(x)=\lim_(x rightarrow-infty)4x^3-2x^2+x+7=\lim_(x rightarrow-infty)4x^3=-infty`

Im negativ Unendlichen verläuft die Funktion also ins negative Unendliche.

Grenzwerte von Funktionen, die Polynome und `e^(g(x))` mischen

Wenn in der Funktion zusätzlich zu Polynomen auch eine `e`-Funktion vorliegt, die addiert oder subtrahiert wird (z.B. ` f(x)=3x^2-x^3+e^(x-3))`, teilt man die Funktion am besten in zwei Teile auf: Die Polynome bilden den ersten Teil, die `e`-Funktion bildet den zweiten Teil. Nun kann man beide Teile getrennt voneinander betrachten und anschließend die Ergebnisse zusammensetzen. Da sich die `e`-Funktion schneller entwickelt als jedes Polynom, fällt sie stärker ins Gewicht. Das soll im folgenden veranschaulicht werden. Betrachtet man zum Beispiel den Grenzwert der oben erwähnten Funktion gegen `\infty`:

`\lim_(x rightarrow +infty)f(x)=3x^2-x^3+e^(x-3)`

Der erste Teil der Funktion (`3x^2-x^3`) ist ein Polynom, wobei `-x^3` der Term mit der höchsten Potenz ist. Deswegen vergleichen wir die Entwicklung von `-x^3` mit der von `e^(x-3)`. Wenn man jetzt für das `x` eine kleinere Zahl wie `2` einsetzt, fällt der Term `-x^3` stärker ins Gewicht als das `e^(x-3)`, da `(-2)^3=-8` und `e^(2-3)\approx0,37`. Da wir jedoch den Grenzwert für `x\rightarrow\infty` suchen, müssen wir uns größere `x`-Werte anschauen. Für `x=20` liegt `-x^3` zum Beispiel bei `(-20)^3=-8000` und `e^(x-3)` bei `e^(20-3)=24.154.952,75`. Wenn man jetzt z.B. `x=200` betrachtet, liegt der Term `-x^3` bei `-8.000.000`, während der Term `e^(x-3)` sehr deutlich überwiegt, da `e^(200-3)\approx3,6*10^85`. Da die `e`-Funktion sich also deutlich schneller ins positive Unendliche entwickelt, als der Polynom ins negative Unendliche, gibt sie in diesem Fall den gesamten Grenzwert der Funktion vor:

`\lim_(x rightarrow +infty)f(x)=3x^2-x^3+e^(x-3)=+\infty`

Somit kann man allgemein folgendes festhalten: Liegt eine Funktion vor, bei der sowohl Polynome als auch Terme der Form `e^(g(x))` vorliegen und durch ein `+` oder `-` verbunden sind, wird der Grenzwert folgendermaßen bestimmt:

tabelle1

Falls die Polynome und die `e`-Funktion durch ein Produkt verbunden sind (z.B. ` f(x)=(x^4-x^3)\cdot(-e^(2x))`, ändert sich die Vorgehensweise. Eine explizite Trennung ist dann nicht mehr möglich. Dennoch betrachtet man den Grenzwert der `e`-Funktion und des Polynoms jeweils getrennt voneinander und multipliziert diese anschließend. Der Grenzwert einer Funktion, bei der Polynome und ein Term der Form `e^(g(x))` miteinander multipliziert werden, kann also nach folgender Tabelle bestimmt werden:

tabelle2

Auch dieses Verfahren soll anhand eines Beispiels verdeutlicht werden. Es soll der Grenzwert gegen `+\infty` der folgenden Funktion bestimmt werden:

` f(x)=(x^4-x^3)\cdot(-e^(2x))`

Die Funktion besteht aus einem Polynom (`x^4-x^3)` und einem Term der `e^(g(x))`, nämlich `e^(2x)`. Diese beiden Teile werden miteinander multipliziert. Wir kennen also getrennt den Grenzwert bestimmen und dann den Grenzwert der Funktion anhand der obenstehenden Tabelle ermitteln.

Erster Teil: ` x^4-x^3 rightarrow` für Limes nur der höchste Exponent relevant:

`\lim_(x rightarrow+infty)(x^4-x^3)=\lim_(x rightarrow+infty)x^4=infty^4=+infty`.

Zweiter Teil : `-e^(2x)`

`\lim_(x rightarrow+infty)-e^(2x)=-e^(2*infty)=-e^infty=-infty`

Da `-\cdot+=-` ergibt, resultiert beim Zusammensetzen der beiden Teile, dass die gesamte Funktion für `x rightarrowinfty` ins negative Unendliche verläuft:

`\lim_(x rightarrow+infty)f(x)=\lim_(x rightarrow+infty)(x^4-x^3)\cdot(-e^(2x))=-infty`

Grenzwerte von gebrochenrationalen Funktionen

Mit dem oben dargestellten Vorgehen können Grenzwerte allgemein gut berechnet werden. Komplizierter wird es allerdings, wenn die Funktion als Bruch vorliegt. Im Fall von Brüchen ist es hilfreich, die einzelnen Summanden im Bruch durch das `x` mit dem höchsten Exponenten zu teilen (Dies entspricht einer Erweiterung des Bruchs um den Kehrbruch des `x` mit dem höchsten Exponenten). Anschließend können diese dann einzeln betrachtet und zusammengesetzt werden. Das soll am Beispiel der folgenden Funktion verdeutlicht werden:

`f(x)=frac(x^3+x)(x^4-5)`

`\lim_(x rightarrow+infty)f(x)=\lim_(x rightarrow+infty)\frac(x^3+x)(x^4-5)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*frac(1)(x^4)`

`\lim_(x rightarrow+infty)\frac(\frac(1)(x)+\frac(1)(x^3))(1-\frac(5)(x^4))=\frac(0+0)(1+0)=\frac(0)(1)=0`

Stößt man bei der Berechnung des Grenzwertes von gebrochenrationalen Funktionen auf die unbestimmten Ausdrücke `\frac(0)(0)` oder `\frac(\pminfty)(\pminfty)`, muss man sich der Regel von L’Hospital bedienen, bei der Zähler und Nenner des Bruchs getrennt voneinander abgeleitet werden. Von diesem neuen Ausdruck wird dann der Grenzwert gebildet. Wie das genau funktioniert, kannst du im Kapitel Regel von L'Hospital nachlesen.



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