Grenzrate der Substitution

Definition

Die Grenzrate der Substitution (GRS) einer Funktion mit zwei Unbekannten gibt an, um wieviel der Wert der einen unabhängigen Variable an einer bestimmten Stelle sinken muss, wenn der Wert der anderen unabhängigen Variable um 1 erhöht wird, um trotzdem noch denselben Funktionswert zu erhalten. Die GRS wird berechnet, indem man die partiellen Ableitungen der Funktion durch einander teilt:

GRS von `y` bezüglich `x`: ` \ \ \ \ R_(yx)=\frac(f_x(x,y))(f_y(x,y))`


Die Grenzrate der Substitution wird oft in der Mikroökonomie verwendet, wobei die Funktion hier den Nutzen eines Konsumenten darstellt, welchen er aus zwei Gütern erhält. Die GRS beantwortet hier dann folgende Frage: Wenn man dem Konsumenten eine Einheit des einen Gutes gibt, wieviele Einheiten des anderen Gutes ist er dann bereit aufzugeben, um immer noch gleichgestellt zum alten Güterbündel zu sein (Er erhält also denselben Nutzen aus dem neuen Güterbündel wie aus dem alten Güterbündel und ist somit indifferent zwischen den beiden)? Eine GRS von `\frac(1)(3)` bedeutet beispielweise, dass der Konsument bereit ist,`\frac(1)(3)`Einheiten von ` y ` aufzugeben, wenn er eine Einheit von ` x ` erhält.

Am Beispiel der Nutzenfunktion `f(x,y)=x^(0,4)\cdot y^(0,6)` im Ausgangsbündel (`5,10`) soll die Funktionsweise der GRS nun verdeutlicht werden: In diesem Ausgangsbündel hat der Konsument einen Nutzen von ` f(5,10)=5^(0,4)\cdot(10)^(0,6)\approx7,579`. Der Konsument soll nun weitere Einheiten von Gut ` x ` erhalten und dafür Einheiten von Gut ` y ` abgeben, sodass sein Nutzenniveau (`7,579`) konstant bleibt. Allgemein lautet die GRS:

` R_(yx)=\frac(0,4x^(-0,6)\cdot y^(0,6))(0,6x^(0,4)\cdot y^(-0,4))=\frac(2y)(3x)`

bzw. im gegebenen Punkt:

` R_(yx)=\frac(2\cdot10)(3\cdot5)=\frac(20)(15)=\frac(4)(3)`

Gibt man dem Konsumenten also eine zusätzliche Einheit von `x`, würde er freiwillig `\frac(4)(3)` Einheiten von `y` abgeben und seinen Nutzen konstant halten. Alternativ kann man sagen, dass der Konsument bereit ist, vier Einheiten von Gut `y` gegen drei Einheiten von Gut `x` zu tauschen (das Tauschverhältnis ist also `3:4`).

Da die GRS nur eine Näherung ist, wird diese aber für größere Zunahmen von ` x ` immer ungenauer:

Ausgangsbündel: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `` f(5,\ 10)=7,579`
0,003 zusätzliche Einheiten: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `` f(5,003,\ 9,996)=7,579`
0,03 zusätzliche Einheiten: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `` f(5,03,\ 9,96)=7,578`
0,3 zusätzliche Einheiten: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `` f(5,3,\ 9,6)=7,57`
0.3 zusätzliche Einheiten: ` \ \ \ \ `` \ \ \ \ `` f(8,\ 6)=6,732`

Das liegt daran, dass die Tangente der GRS die Nutzenfunktion lediglich im Ausgangspunkt berührt. Die veränderten Bündel liegen dann alle auf dieser Tangente, nicht auf der Nutzenfunktion selbst:

grenzrate_substitution_2

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