Gebrochenrationale Funktionen

Definition

Die Funktionsvorschrift der gebrochenrationalen Funktion enthält einen Bruch und sieht im Allgemeinen so aus:

`f(x)= frac{a}{(x+b)^n}+c`

mit `n\in\mathbb{N}` und `ane0`.


Der Graph der gebrochenrationalen Funktion wird als Hyperbel bezeichnet. Eine Hyperbel ist eine mathematische Kurve bestehend aus zwei Ästen, die jeweils ins Unendliche verlaufen.

Da ein Bruch mit Null im Nenner nicht definiert ist, ergibt sich bei der gebrochenrationalen Funktion eine Definitionslücke an der Stelle `x=-b`. Außerdem besteht eine Lücke im Wertebereich bei `y=c`, da für diesen Wert der Bruch Null ergeben müsste, was aufgrund der Bedingung `ane0` nicht möglich ist. Bei beiden Lücken handelt es sich um so genannte Asymptoten, an die sich die beiden Äste der Hyperbel jeweils anschmiegen, ohne sie jemals zu erreichen.

Graphisch sieht eine typische gebrochenrationale Funktion (`a>0` und `n` ungerade) folgendermaßen aus:

hyperbel1

In Abhängigkeit davon, ob `a` positiv oder negativ und `n` gerade oder ungerade ist, verlaufen die Äste der Hyperbel jedoch unterschiedlich:

hyperbel3

Die einfachste gebrochenrationale Funktion ist gegeben durch den Term

`f(x)= frac{1}{x}`

Wie beschrieben ist sie an der Stelle `x=0` nicht definiert. Durch den positiven Zähler ergibt sich auch, dass der Wert `y=0` nicht erreicht werden kann. Die Hyperbel hat also zwei Asymptoten: eine waagerechte Asymptote `y=0` und eine senkrechte Asymptote `x=0`. Der Graph von `f(x)= frac{1}{x}` verläuft dementsprechend wie folgt:

hyperbel2

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