Funktionen

Definition

Eine Funktion `f` ordnet jedem Wert `x` aus einem Definitionsbereich `D_f` einen eindeutigen Wert `y=f(x)` aus dem Wertebereich `W_f` zu. Dabei wird jedem `x` maximal ein `y` zugeordnet. Im Gegensatz dazu können einem `y` aber mehrere `x`-Werte zugeordnet sein.


Das Schaubild einer Funktion nennt sich Graph. Der Graph einer Funktion besteht also aus allen Punkten im `xy`-Koordinatensystem, die sich durch Anwendung der Funktionsvorschrift auf alle zulässigen `x`-Werte (mit den resultierenden Werten `y=f(x)`) ergeben.

Funktion

Es gibt viele verschiedene Arten von Funktionen. Jeder Funktionstyp unterscheidet sich von anderen in seinen Recheneigenschaften und Anwendungen. Die bekanntesten Funktionstypen werden im folgenden vorgestellt.

Lineare Funktion

Eine sehr wichtige und grundlegende Funktionsart ist die lineare Funktion. Sie hat allgemein die folgende Vorschrift:

`f(x)=mx+b`.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. `m` ist hierbei die Steigung der Geraden und `b` der Wert, bei dem die Gerade die `y`-Achse schneidet. Wie man die Gleichung einer linearen Funktion aufstellt und ihre Nullstellen bestimmt, kannst du im Kapitel Lineare Funktionen nachlesen.

Quadratische Funktion und Polynom n-ten Grades

Die quadratische Funktion, auch Polynom zweiten Grades genannt, ist vielseitig einsetzbar. Die quadratische Funktion genügt der grundlegenden Vorschrift:

`f(x)=ax^2+bx+c`

Dabei bestimmt `a`, ob der Graph der Funktion nach oben oder nach unten geöffnet ist, `b` die Lage des Scheitelpunkts und `c` wiederum den `y`-Achsenabschnitt.
Der Graph der quadratischen Funktion wird Parabel genannt. Wie eine solche Parabel aussieht und Näheres zu ihren Nullstellen und ihrem Scheitelpunkt erfährst du im Kapitel quadratischen Funktionen.

Außer dem Polynom zweiten Grades gibt es auch Polynome höherer Grade. Daher kann man die Funktionsvorschrift verallgemeinern, sodass man ein Polynom `n`-ten Grades erhält:

`f(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1) + a_(n-2)x^(n-2)+…+a_1x^1+a_0`

Potenzfunktion

Potenzfunktionen finden zum Beispiel in der Physik Anwendung, wo damit unter anderem die benötigte Zeit für eine Wegstrecke und die Länge eines Hebels berechnet wird. Eine Potenzfunktion hat folgenden Aufbau:

`f(x)=ax^n`

Ist der Exponent `n` nicht ganzzahlig, aber lässt sich als Bruch darstellen, kann die Funktionsgleichung in eine Wurzelfunktion umgeformt werden:

formelx

Wenn der Exponent einer Potenzfunktion negativ ist, entsteht eine gebrochenrationale Funktion, bei der die Variable `x` im Bruch des Terms steht:

`f(x)=ax^-n \ rightarrow \ f(x)=frac(a)(x^n)`

Anwendung finden gebrochenrationale Funktionen zum Beispiel bei der Berechnung der Kapazität von Kondensatoren oder der Brennweite von Linsen. Eine nähere Beschreibung des Graphen und des Definitionsbereichs dieses speziellen Funktionstyps gibt es im Kapitel gebrochenrationale Funktionen.

Welchen Gesetzmäßigkeiten der Graph einer Potenzfunktion unterliegt, wird im Kapitel Potenzfunktionen beschrieben.

Wurzelfunktion

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion. Wenn man also die Potenzfunktion an der Winkelhalbierenden spiegelt, erhält man die zugehörige Wurzelfunktion. Wichtig ist, dass „gerade“ Wurzeln („zweite, vierte, sechste… Wurzel von…“) beziehungsweise ihre Funktionen nur im positiven Bereich und für `x=0` definiert sind, also `D_f=RR_0^+`. „Ungerade“ Wurzeln sind für alle `x`-Werte definiert.
Die Graphen der Potenzfunktionen `f(x)=x²` und `g(x)=x^3` sowie deren zugehörigen Wurzelfunktionen ` h(x)=root(2)(x)=sqrt x`und `i(x)=root(3)(x) ` verlaufen dabei wie folgt:

wurzelfunktion_1 wurzelfunktion_2

Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion handelt es sich um einen sehr wichtigen Funktionstyp, der beispielsweise in den Bereichen Chemie, Finanzwirtschaft und Physik vielfältige Anwendung findet. Im allgemeinen ist mit "Exponentialfunktion" eine Funktion gemeint, die die Variable `x` als Exponent zur Basis `a` aufweist:

`f(x)=a^x`

Im Kapitel Exponentialfunktion findest du weitere Informationen zum Graph der Exponentialfunktion.

Ein Spezialfall der Exponentialfunktion ist die sogenannte `e`-Funktion (oder natürliche Exponentialfunktion). Hier wird als Basis die "Eulersche Zahl" `e` verwendet:

`f(x)=e^x`

Der Einfachheit halber wird die e-Funktion oft auch einfach als Exponentialfunktion bezeichnet - dass eigentlich die natürliche Exponentialfunktion gemeint ist, ergibt sich dann aus dem Kontext.

Die `e`-Funktion hat einige spezielle Eigenschaften, die die allgemeine Exponentialfunktion nicht aufweist. Welche das sind, erfährst du im Kapitel `e`-Funktion.

Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion:

`f(x)=a^x \ rightarrow \ f^-1(x)=log_ax`

In der Chemie werden mit Hilfe der Logarithmusfunktion zum Beispiel die Halbwertszeiten von Stoffen berechnet.

Das Pendant der `e`-Funktion zur Exponentialfunktion ist die `ln`-Funktion zur Logarithmusfunktion. Die `ln`-Funktion wird auch als natürlicher Logarithmus oder logarithmus naturalis bezeichnet. Ihre Besonderheit ist, dass sie ebenfalls die "Eulersche Zahl" `e` als Basis hat. Statt `log_ex` schreibt man dann `ln \ x`. Die Zusammenhänge bleiben gleich:

`f(x)=e^x \ rightarrow \ x=log_ey=ln \ y`

Die Umkehrfunktion der `e`-Funktion ist daher die ` ln ` -Funktion:

`f(x)=e^x \ rightarrow \ f^-1(x)=ln_x`

Verketten von Funktionen

Von Verkettung spricht man, wenn zwei Funktionen in der Form `f(g(x))` miteinander verknüpft werden. Welche Folgen das hat, ist im Kapitel Verkettung von Funktionen genauer beschrieben.

Verschieben, Strecken und Spiegeln von Graphen

Durch Summanden, Faktoren oder Vorzeichen können Graphen bzw. Funktionen verschoben, gestreckt und gespiegelt werden. Die Möglichkeiten der Manipulation von Funktionen werden im Folgenden direkt am Beispiel der Ausgangsfunktionen `f(x)=x^2`bzw. `h(x)=x^2+3x` dargestellt.

Soll die Funktion senkrecht verschoben werden, ändert man den Wert der Konstanten um diesen Betrag. Gemäß der Gleichung`g(x)=f(x)+c` liegt die manipulierte Funktion `g(x)`also um `c` Einheiten weiter oben als die Ausgangsfunktion `f(x)`. Für den Fall, dass `c` negativ ist, liegt die manipulierte Funktion entsprechend weiter unten.

In der folgenden Abbildung wird zum Beispiel die Funktion `f(x)=x^2`um 4 nach oben verschoben, indem die Konstante 4 addiert wird:

funktion verschieben

In waagerechte Richtung kann die Funktion durch `g(x)=f(x+c)` verschoben werden. An der Stelle des `x` wird in die Funktionsgleichung also jeweils in Klammern ein `(x+c)` eingesetzt, aus `f(x)=x^2`würde also `g(x)=(x+c)^2` betrachtet werden.

Falls `c` positiv ist, wird die Funktion um `c` Einheiten nach links verschoben; falls `c` negativ ist, wird sie nach rechts verschoben. In der folgenden Abbildung wird die Funktion `f(x)=x^2` um 4 Einheiten nach links verschoben:

funktion verschieben 2

Möchte man die Funktion senkrecht stauchen bzw. strecken, manipuliert man sie über die Vorschrift `g(x)=cf(x)`.

Für `0<|c|<1` wird die Funktion gestaucht (zusammengeschoben); Für `|c|>1` wird sie gestreckt (lang gezogen). Zur Veranschaulichung: Die Funktion wird auf dehnbaren Stoff gezeichnet, welcher senkrecht zusammengeschoben bzw. lang gezogen wird. Eine Stauchung in y-Richtung könnte also z.B. wie folgt aussehen:

funktion stauchen

Bei Stauchung oder Streckung in `x`-Richtung ändert sich die Manipulationsvorschrift zu `g(x)=f(cx)`.
Auch ändert sich die Zuordnung, wann eine Streckung und wann eine Stauchung vorliegt.

Im Gegensatz zur `y`-Richtung wird die Funktion in `x`-Richtung gestreckt, wenn`0<|c|<1` und gestaucht, wenn `|c|>1`. In der folgenden Abbildung wird der Graph zum Beispiel mit `c=0,5` waagrecht gestreckt:

funktion waagrecht strecken

Soll die Funktion gespiegelt werden, gibt es erneut zwei Möglichkeiten: Die Spiegelung an der y-Achse und die Spiegelung an der `x`-Achse.

Um den Graphen an der `y`-Achse zu spiegeln, wird die Funktion über `g(x)=f(-x)` manipuliert. Für die Spiegelung an der `x`-Achse nutzt man `g(x)=f-(x)`. Beide Spiegelungen sind in der folgenden Abbildung dargestellt:

funktion spiegeln

Alle Manipulationsmöglichkeiten lassen sich auch miteinander kombinieren. So wäre beispielsweise die Funktion

`g(x)=-5*((4x-2)^2+3)`

eine Normalparabel, die zuerst in `x`-Richtung gestaucht `(4)`, anschließend um zwei Einheiten nach rechts (`-2`), um drei Einheiten nach oben (`+3`) verschoben und in `y`-Richtung gestreckt (`5`) wurde. Zum Schluss wurde der Graph an der `x`-Achse gespiegelt (`-`).



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