Extrempunkte berechnen

Neben dem Monotonie- und Krümmungsverhalten interessiert man sich in den Wirtschaftswissenschaften häufig auch für stationäre Punkte. Diese umfassen die Extrempunkte (also Hoch- und Tiefpunkte), Wendepunkte und Sattelpunkte. Die Berechnung von Extrempunkten ist ein wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion.

Definition

Ein lokaler Extrempunkt minimiert oder maximiert die Funktion in einem Intervall um diesen Punkt. Dahingegen minimiert bzw. maximiert ein globaler Extrempunkt die Funktion über alle Ausprägungen von `x`, also im gesamten Definitionsbereich.


extrempunkte1

In einem lokalen Extrempunkt wechselt die Steigung ihr Vorzeichen (`+` nach `–` oder `–` nach `+`), die Steigung beträgt im Extrempunkt also Null:

extrempunkte2

Aus dieser Annahme folgt, dass die Ableitung der Funktion in einem Extrempunkt Null sein muss. Diese Bedingung stellt die notwendige Bedingung eines Extrempunkts dar (auch: Bedingung erster Ordnung, BEO). Notwendig deshalb, weil bei Nichterfüllung kein Extrempunkt vorliegen kann. Darüber hinaus gibt es eine hinreichende Bedingung (auch: Bedingung zweiter Ordnung, BZO), mit der die Existenz des Extrempunktes bewiesen werden kann. Die BZO lautet:

` f\prime(x)=0` und `f''(x)=0`

Ist die BZO erfüllt, liegt ein Extrempunkt vor. Andernfalls ist ohne weitere Überprüfung keine Aussage möglich, es könnte sich z.B. um einen Sattelpunkt handeln. Um dies zu klären, werden im Folgenden die Funktionen ` f(x)=x^2, g(x)=x^3 ` und ` h(x)=x^4` betrachtet:

extrempunkte3

Bei allen Funktionen ist die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt an der Stelle ` x=0` erfüllt:

`f\prime(x)=2x=0 \ \ \ \ rightarrow \ \ \ \ x=0`
`g^\prime(x)=3x^2=0 \ \ \ \ rightarrow \ \ \ \ x=0`
`h^\prime(x)=4x^3=0 \ \ \ \ rightarrow \ \ \ \ x=0`

Alle Funktionen könnten also an dieser Stelle einen lokalen Extrempunkt haben.

Die hinreichende Bedingung lautet, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle `\ne0` sein muss:

` f\prime\prime(0)=2 \ \ \ \ g^\prime\prime(0)=6*0=0 \ \ \ \ h^\prime\prime(0)=12*0^2=0`

Für ` f(x)` ist die hinreichende Bedingung also erfüllt, hier liegt definitiv ein lokaler Extrempunkt vor.

Für ` g(x)` und ` h(x)` ist die hinreichende Bedingung jeweils nicht erfüllt. Während in der Grafik sichtbar wird, dass ` g(x)` an dieser Stelle keinen lokalen Extrempunkt (sondern einen Sattelpunkt) hat, hat die Funktion ` h(x)` an dieser Stelle einen lokalen Extrempunkt. Bei Nichterfüllung der hinreichenden Bedingung ist also keine eindeutige Aussage möglich.
Zur Klassifizierung des Extrempunkts kann ebenfalls die zweite Ableitung genutzt werden. Bei der Funktion ` f(x)=x^2` ist die Steigung/erste Ableitung zunächst negativ und nach dem lokalen Extrempunkt wird sie positiv. Daraus folgt, dass die zweite Ableitung positiv ist, wenn die Funktion ein lokales Minimum hat.

Betrachtet man hingegen die Funktion ` i(x)=-x^2` (also die Normalparabel an der ` x ` -Achse gespiegelt), so hat diese ein lokales Maximum. Die Funktion hat erst eine positive Steigung, die immer geringer und nach dem Extrempunkt negativ wird. Die zweite Ableitung ist demnach negativ.

Zusammenfassend ist die zweite Ableitung also im Falle eines lokalen Minimums positiv und im Falle eines lokalen Maximums negativ.

Merke

Die Bedingungen für Extrempunkte lauten also:

Notwendige Bedingung:` \ \ \ \ f\prime(x)=0`
Hinreichende Bedingung: ` \ \ \ \ f\prime=0 ` und ` f\prime\prime(x)\ne0`

Die Klassifizierung lässt sich formal zusammenfassen als:

Lokales Maximum/Hochpunkt:` \ \ \ \ f\prime\prime(x)<0`
Lokales Minimum/Tiefpunkt:` \ \ \ \ f\prime\prime(x)>0`
Keine Aussage möglich:` \ \ \ \ f\prime\prime(x)=0`


Die Koordinaten eines Extrempunktes werden häufig auch mit einem Stern gekennzeichnet, also als ` P(x^\ast|y^\ast)`.

In Klausuren ist es wichtig, die Aufgabenstellung richtig zu interpretieren. Je nachdem, ob nach Extremstelle, Extremwert oder Extrempunkt gefragt wird, müssen verschiedene Merkmale angegeben werden. Die Extremstelle ist dabei auf der ` x ` -Achse zu suchen, der Extremwert auf der ` y ` -Achse. Der Extrempunkt ist die Kombination beider Achsen und wird als ` P(x^(\ast) | y^ (\ast))` angegeben. Liegt also bei dem Punkt ` P(3|5)` ein Extrempunkt vor, so ist die Extremstelle ` x^\ast=3` und der Extremwert ` y^\ast=5`.

Merke

Bei der Berechnung des Extremwerts ist besondere Vorsicht geboten: Diesen berechnet man durch Einsetzen der Extremstelle in die Ausgangsfunktion ` f(x)`! Das Ergebnis aus der hinreichenden Bedingung ist nicht der Extremwert!




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