Binomische Formeln

Definition

Ein Binom ist ein Polynom mit genau zwei Gliedern. Beispielsweise sind die folgenden Ausdrücke Binome:
`a+b\, \x^2+y^2\, \3ab^5-4c^3\, \frac(p^2)(2)-q`


Bestimmte Konstellationen von Binomen lassen sich mithilfe der drei binomischen Formeln wie folgt ausdrücken:

Formel

1. Binomische Formel: ` \ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2`

2. Binomische Formel: ` \ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2`

3. Binomische Formel: ` \ (a+b)(a-b)=a^2-b^2`


Die Binomischen Formeln sind sehr hilfreich, um Terme in eine Form zu bringen, in der sie weiter vereinfacht werden können. So kann man mit ihrer Hilfe Brüche und Logarithmus-Funktionen vereinfachen und Wurzelterme radizieren, was in diesen Fällen oft die einzige Lösungsstrategie darstellt.

Betrachten wir beispielsweise folgende Funktion:

` f(x)= sqrt(9x^2+24x+16)`

Wir wollen nun herausfinden, was der `x`-Wert bei ` y=3` ist.
Dafür muss die Funktion `= 3` gesetzt werden:

` f(x)=sqrt(9x^2+24x+16)=3`

Im nächsten Schritt muss nach `x` aufgelöst werden. Das geht jedoch nicht, ohne die Wurzel vorher aufzulösen. An dieser Stelle kann man nun bemerken, dass der Term unter der Wurzel verdächtig aussieht – und wenn wir ihn ein bisschen umformen, stellen wir fest, dass wir die 1. Binomische Formel anwenden können:

`f(x)=sqrt(9x^2+24x+16)=3`

` sqrt((3x)^2+(2cdot3xcdot4)+(4)^2))=3`

` sqrt((3x+4)^2))=3`

` 3x+4=3`

` x=-frac{1}{3}`



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