Ausklammern und Nullprodukt

Im Folgenden wird das Verfahren Ausklammern und Nullprodukt zur Berechnung von Nullstellen anhand eines Beispiels deutlich gemacht:

Bei `x^4+0,5x^3+3x^2=0` wird `x^2` ausgeklammert, wodurch die Gleichung als ` x^2*(x^2+0,5x+3)=0` vorliegt. Nun wird das Nullprodukt angewendet:

` x^a* g(x)=0`

Wenn ein Produkt Null ergeben soll, muss mindestens einer der Faktoren Null sein (Satz des Nullprodukts). Es gilt also:

` x^a=0` ` oder ` `g(x)=0`

Somit liegen nun zwei Gleichungen vor, die getrennt voneinander betrachtet werden können. Die erste Gleichung liefert direkt eine Nullstelle bei ` x=0`, die zweite Gleichung – in der in mindestens einem Summanden kein ` x ` mehr vorhanden ist – muss dann noch aufgelöst werden. Je nachdem, wie diese Gleichung aussieht, kann eine der im Folgenden erklärten Techniken angewandt werden.

Neben dem ` x^a ` können auch andere Terme ausgeklammert werden. So lässt sich z.B. bei der Gleichung

`3x^2+6x=0`

der Term `3x` ausklammern:

`3x* (x+2)=0`

Ebenfalls kann man größere Teile ausklammern, wenn man die entsprechenden Zusammenhänge sieht. Bei der Gleichung

`3x^3+3x^2+4x+4=0`

könnte beispielsweise `(x+1)` ausgeklammert werden. Dadurch erhält man die Gleichung:

`(x+1)* (3x^2+4)=0`

Auch in diesen Fällen kann jeweils das Nullprodukt angewendet werden, da ein Produkt vorliegt, welches Null ergeben soll.
Des Weiteren lässt sich das Nullprodukt auch auf Produkte mit mehr als zwei Faktoren übertragen. Liegen beispielsweise 4 Faktoren vor, die miteinander multipliziert Null ergeben sollen, so muss wieder mindestens ein Faktor Null sein:

` e^(x-2)*3x^2*lnx*4^x=0leftrightarrowe^(x-2)=0` ` oder ` `3x^2=0` ` oder ` `lnx=0` ` oder ` `4^x=0`

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