Ableitung (Ableitungsregeln)

Definition

Mithilfe der Ableitung kann die Steigung einer Funktion an einem bestimmten Punkt, in einem bestimmten Bereich, oder über ihren gesamten Verlauf hinweg betrachtet werden.


Im Artikel zur Kurvendiskussion wird genauer besprochen, was die Intuition hinter der Ableitungsfunktion ist und wie man diese formal herleiten kann. Sobald man jedoch gängige Aufgaben bearbeiten soll, ist vor allem wichtig, die konkreten Ableitungsregeln zu kennen und anzuwenden. Diese Ableitungsregeln werden im Folgenden vorgestellt und am Ende des Kapitels noch einmal mithilfe von Beispielen veranschaulicht.

Ableitung von Konstanten und Produkten mit `x`

Konstanten haben keine Steigung, weshalb ihre Ableitung `= 0` ist. Anders werden Parameter in einem Produkt mit `x` behandelt, der Parameter bleibt beim Ableiten stehen:

`f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ rightarrow \ f(\prime(x))=0`
`f(x)=c+g(x) \ \ \ \ rightarrow \ f(\prime(x))=g^\prime(x)`
`f(x)=c*g(x) \ \ \ \ rightarrow \ f\prime(x)=c* g\prime(x)`

Ableitung von Polynomen - die Potenzregel

Eine sehr wichtige Regel stellt die Potenzregel dar. Der Exponent wird um eins verringert, der ursprüngliche Exponent wird vor den Ausdruck gezogen:

` f(x)=x^a \ \ \ \ rightarrowf\prime(x)=ax^(a-1)`

Bei einer abzuleitenden Wurzel ist es hilfreich, wenn diese zur Potenz umgeschrieben wird. Anschließend kann diese über die Potenzregel leichter abgeleitet und vereinfacht werden:

` f(x)=\sqrt x=x^\frac(1)(2) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=\frac(1)(2)x^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(2)*\frac(1)(x^\frac(1)(2))=\frac(1)(2\sqrt x)`

Liegt die Funktion als Summe oder Differenz mehrerer Teilfunktionen von ` x ` vor, leitet man diese getrennt voneinander ab und fasst sie anschließend wieder zusammen:

` f(x)=g(x)\pm h(x) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=g\prime(x)\pm h\prime(x)`

Die Produktregel

Sind die beiden Teilfunktionen nicht durch `+` oder `–` verbunden, sondern über ein Produkt, muss die
Produktregel angewendet werden (Für ein Zahlenbeispiel, klick den Link!):

` f(x)=g(x)* h(x) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=g\prime(x)h(x)+g(x)h\prime(x)`
` =u* v=u^\prime v+uv^\prime`

Die Quotientenregel

Liegen die beiden Teilfunktionen als Quotient vor (also als Bruch), wird die Quotientenregel genutzt (Für ein Zahlenbeispiel, klick den Link!):

` f(x)=\frac(g(x))(h(x)) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=\frac(g^\prime(x)h(x)-g(x)h^\prime(x))(h(x)^2) =\frac(u)(v)=\frac(u\prime v-uv\prime)(v^2)`

Diese Regel kann man sich über den Ausdruck `\frac(NAZ-ZAN)(N^2)` merken, wobei `N` für den Nenner, `A` für die Ableitung und `Z` für den Zähler steht.

Bei der Anwendung der Produkt- oder Quotientenregel im Zusammenhang mit `e`-Funktionen ist es hilfreich, wenn man den Teil ` e^(g(x))` ausklammern kann. Dadurch muss man bei erneutem Ableiten weniger komplizierte Rechnungen durchführen.

Die Kettenregel

Sind zwei Teilfunktionen miteinander verkettet, ist beim Ableiten die Kettenregel anzuwenden (Merksatz: Äußere mal innere Ableitung):

` f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=g\prime(h(x))* h\prime(x)`

Wie Verkettungen, die bestimmte Funktionstypen wie die `e`-Funktion und die `ln`-Funktion enthalten, mithilfe der Kettenregel abgeleitet werden, erfährst du im Kapitel Kettenregel.

Ableitung der `e`-Funktion

Für die `e`-Funktion bzw. natürliche Exponentialfunktion gelten beim Ableiten besondere Regeln. Da die Steigung der natürlichen Exponentialfunktion immer dem Funktionswert entspricht, ist die abgeleitete `e`-Funktion wieder die `e`-Funktion:

` f(x)=e^x \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=e^x`

Ableitung der `ln`-Funktion

Die `ln`-Funktion wird abgeleitet zum Bruch:

` f(x)=\ln(x) \ \ \ \ rightarrow f\prime(x)=\frac(1)(x)`



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